Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса методами математики сводится к установлению аналитических зависимостей между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины изменяются в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами не всегда возможно. В этих случаях используются методы математической физики, с использованием которых рассматривается протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в некотором объеме вещества и в течение элементарного отрезка времени. Это дает возможность на основе самых общих принципов вывести дифференциальное уравнение рассматриваемого процесса, которое представляет собой наиболее общую связь между существенными для исследуемых процессов величинами.

Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. В основу вывода этого уравнения положен закон сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.

Закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом. Выделим в теле некоторую часть объема V, ограниченного замкнутой поверхностью 5, через которую происходит тепловое взаимодействие выделенной части с окружающей ее средой. Имеет место следующее утверждение: количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за время dt вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме

где Q — изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме Уза время dt, — количество теплоты, введенное в выделенный объем путем теплопроводности за время dt Q± — количество теплоты, которое выделилось в объеме Vза время dt из внутренних источников теплоты.

Это утверждение вместе с законом Фурье (1.14) положено в основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности. Для облегчения вывода можно принять допущения.

  • 1. Деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой по сравнению с самим объемом, и она не учитывается.
  • 2. Макроскопические частицы тела неподвижны относительно друг друга.

Пусть V — выделенный объем произвольной формы части тела, ограниченный замкнутой поверхностью S (не обязательно изотермической); п единичный вектор внешней нормали к точкам поверхности S (рис. 1.8); Т(х, г/, 2, t) — температура тела в точке (х, г/, г) в момент времени t. Вычислим общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за малый отрезок времени dt, имея в виду, что Q = Q{ + Q2. Для вычисления Q воспользуемся законом Фурье в скалярной форме (1.14). Количество теплоты, подведенное в выделенный объем через элементарную площадку da за время dt, равно (с учетом того, что направление потока теплоты противоположно направлению нормали)

где q = -Xgrad Т — вектор плотности теплового потока.

Ограниченная замкнутая поверхность

Рис. 1.8. Ограниченная замкнутая поверхность

Количество теплоты, протекающее за время dt через площадь поверхности 5, выразится интегралом

где qn проекция вектора q на нормаль п.

Выделение или поглощение теплоты внутри объема V удобно характеризовать с помощью плотности (мощности) тепловых источников. Под

Поверхностный интеграл (1.21) можно преобразовать в объемный по формуле Остроградского—Гаусса, связывающей двойной интеграл по поверхности S с тройным интегралом по объему Vf ограниченному этой поверхностью:

Таким образом,

плотностью тепловых источников понимают такую функцию F{xy у, 2, t), когда в элементарном объеме dV за отрезок времени dt выделяется количество теплоты, равное

Тогда за отрезок времени dt в теле объемом V выделится количество теплоты

где F(M, t) > 0. Если F{M, t) < 0, то теплота не выделяется, а поглощается. Функция F(M, t) считается непрерывной и ограниченной.

Общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом V, определяется из равенства

Согласно формуле (1.19), это количество теплоты равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме. Указанное изменение на основании первого закона термодинамики может быть выражено формулой

где С — теплоемкость выделенного объема; dT— изменение его температуры.

Таким образом, Q может быть вычислено двумя способами. С одной стороны, по формуле (1.26), с другой — путем учета изменения температуры в точках объема V, ограниченного поверхностью S. В точке (х, у, г) за промежуток времени dt температура Т(х, у, 2, t) изменится на величину

Элементу объема dV массой pdV для такого изменения температуры потребуется количество теплоты, равное cp(dT/dt)dVdt, а всему объему

где с — удельная теплоемкость (ДжДкг-К)); р — плотность вещества (кг/м3); ср (Дж/(м3- К)).

Принимая во внимание (1.27), с учетом (1.26) и (1.28) находим

)

Равенство (1.29) должно выполняться для любой части тела объемом V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела

Это заключение справедливо, если левая часть в равенстве (1.30) — непрерывная функция. Предположим, что в точке М(ху уу г) равенство нарушается, т.е., например [cp(dT/dt) + div# - F(M, t)] > 0. Тогда, интегрируя обе части неравенства по некоторой области Vy содержащей точку М, получим противоречие с условием (1.29).

Так как q = -A.grad Т, то равенство (1.30) можно записать в виде

Уравнение (1.31) называется дифференциальным уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье.

Для изотропного гомогенного тела параметры с, р, X постоянные. Так как div(grad 7) = V2'/’ где V2 — оператор Лапласа, то, разделив обе части (1.31) на ср, получим равенство

где а = Х/(ср) коэффициент пропорциональности, называемый температуропроводностью2/с).

В декартовых координатах уравнение (1.32) имеет вид

В цилиндрических координатах (г, ф, z), связанных с декартовыми координатами соотношениями

уравнение (1.32) принимает вид

В сферических координатах (г, ф, 0), связанных с декартовыми координатами соотношениями

уравнение (1.32) записывается в виде

Г).

В частном случае, когда температурное поле обладает сферической симметрией, последнее уравнение (при F= 0) принимает вид

Если вместо Т(г, /;) ввести новую функцию U(r, t) с помощью подстановки I!(г, t) = rT(r, /), то вместо уравнения относительно T(r, t) после несложных преобразований получим уравнение

аналогичное уравнению теплопроводности для неограниченной пластины (или тонкого стержня с теплоизолированной боковой поверхностью). Применение указанной подстановки позволяет использовать найденные аналитические решения тепловых задач для бесконечной пластины при описании соответствующих температурных нолей в сферических телах (сплошной или полый шар).

В отличие от X, которая характеризует теплопроводящую способность тела, а характеризует его теплоинерционные свойства и является мерой скорости выравнивания температурного ноля в рассматриваемой среде. Действительно, по определению, а = Х/(ср) = Х/с', где с' — объемная изобарная теплоемкость. Отсюда температуропроводность а прямо пропорциональна теплопроводности X и обратно пропорциональна аккумуляционной способности с' вещества. Особенно наглядным становится физический смысл а в уравнении теплопроводности, когда отсутствует внутреннее тепловыделение и дТ/dt = аУ2Т(М, (). Зная вблизи точки М(х,у, z) зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет изменяться температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. При этом чем больше а (т.с. чем меньше с'), гем пропорционально быстрее меняется во времени температура. Таким образом, а характеризует способность вещества изменять с большей или меньшей скоростью свою температуру во времени.

Оператор Лапласа в правой части (1.32) характеризует изменение теплового потока в точке М и (в геометрическом смысле) является мерой кривизны изотермической поверхности в этой точке. Этим и обусловлено изменение температуры в данной точке, так как наибольшая скорость перестройки температурного поля отвечает участкам большей кривизны, и наоборот. Для иллюстрации этих соображений на рис. 1.9 рассмотрим две температурные кривые, соответствующие одномерному температурному полю дТ/dt = = а(д2Т/дх2) (без источников теплоты F = 0), для момента времени ! (кривая 1) и = F + dt (кривая 2). Из рисунка видно, что за время dt: температура изменилась больше на участках а и Ь, где температурная кривая обладает большей кривизной.

В то же время знак оператора Лапласа в данной точке показывает, в каких случаях температура этой точки при переходе от момента времени t к t + dl возрастает (нагревание) и в каких случаях убывает (охлаждение).

Возрастание температуры в данной точке обусловливается тем, что в слой материала, охватывающий эту точку, подводится теплоты больше, чем за тот же отрезок времени отводится (величина д2Т/дх2 положительна). При убывании температуры, наоборот, отводится теплоты больше, чем за время dt подводится (величина д2Т/дх2 отрицательна) (рис. 1.10).

Схема к объяснению скорости изменения температуры

Рис. 1.9. Схема к объяснению скорости изменения температуры

Уравнение (1.32) выведено при условии некоторой идеализации процесса и в этом смысле является феноменологическим (описательным) уравнением аналитической теории теплопроводности.

Вопрос о том, насколько точно оно описывает реальный физический процесс теплопроводности, может быть решен только сравнением результатов, полученных при решении уравнения, с экспериментальными данными.

Уравнение (1.32) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, в котором независимыми переменными являются время и три пространственные координаты, а зависимой переменной — функция Т (температура).

Э го уравнение первой степени (линейное), поскольку зависимая переменная Т входит Рис. 1.10. Схема к объяснению в него в первой степени. Но вместе с тем влияния оператора Лапласа оно является уравнением второго иоряд- ,,а температурное состояние тела ка, так как дифференциальный оператор Т содержит производные второго порядка от Т по пространственным переменным. Функция F считается заданной функцией, в общем случае — функцией координат и времени.

Уравнение теплопроводности (1.32) в курсах математической физики относится к дифференциальным уравнениям параболического типа и согласно этому типу уравнений для него выбираются соответствующие аналитические методы решения.

В случае, когда температура рассматриваемого тела в любой его точке нс изменяется во времени, т.с. является функцией только координат (установившееся состояние), то dT/dt = 0 и уравнение (1.32) принимает вид

где плотность тепловых источников F(M) уже не зависит от времени. Уравнение (1.34) называется уравнением Пуассона.

Если внутри тела отсутствуют тепловые источники и температурное поле стационарно, то имеем уравнение (в декартовых координатах)

которое называется уравнением Лапласа.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Уравнение Лапласа принадлежит к дифференциальным уравнениям эллиптического типа.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >