Стационарная теплопроводность в многослойном цилиндре
Рассмотрим многослойный полый цилиндр (см. рис. 3.1), температуры внутренней (г = г0) и внешней (г = г„) поверхностей которого заданы и равны соответственно Гс1 и Гс2. Считаем, что между слоями выполняется идеальный термический контакт, а постоянные в пределах каждого слоя коэффициенты теплопроводности представим в виде
где Н(г - г,) — асимметричная единичная функция, определяемая соотношением (3.7).
Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид
Общий интеграл уравнения (3.37) будет иметь вид
Подставляя соотношение (3.14) в (3.40), получим уравнение
Определяя интегралы (3.41), будем иметь уравнение
Подставляя (3.42) в (3.38), (3.39), получаем
Подставляя найденные значения постоянных интегрирования С и С2 в (3.42), получаем уравнение
Для контакта двух тел соотношение (3.44) принимает вид
Найдем решение уравнения (3.37) при несимметричных граничных условиях третьего рода:
Определяя из граничных условий (3.46), (3.47) постоянные интегрирования С и С2, находим
где Л) = 1 + КА значение Л находится из соотношения (3.30).
После подстановки соотношений (3.48) в (3.42) получим замкнутое аналитическое решение задачи теплопроводности для многослойного цилиндра при несимметричных граничных условиях третьего рода.
Найдем решение уравнения (3.37) при граничных условиях второго и третьего родов вида (3.33), (3.34). Подставляя решение (3.42) в соотношения (3.33), (3.34), для нахождения констант С и С2 получаем формулы
Подставляя найденные значения Ct и С2 в соотношение (3.42), в замкнутом виде получаем точное аналитическое решение уравнения (3.37) с граничными условиями (3.33), (3.34).
