Решение нестационарных задач теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных и метода Ритца

Найдем решение двумерной нестационарной задачи теплопроводности об охлаждении тела в следующей математической постановке:

где 9 = t- tf— избыточная температура; tf — температура окружающей среды (tj < t); V2 = д2/дх2 + д2/ду2 — оператор Лапласа (лапласиан).

Следуя методу разделения переменных, частное решение уравнения (4.107) принимается в виде

Подставляя (4.110) в (4.107), будем иметь соотношение

Поделив левую и правую части (4.111) на ф(т)ф(х, у), получим равенство

Поскольку равенство (4.112) должно иметь место при любых т и (х, у), то обе его части должны равняться одной и той же постоянной -k„:

Выбор постоянной в виде -1г„ < 0 (существенно отрицательная величина) определяется физическими соображениями [72].

Из (4.113) получаем два дифференциальных уравнения

Решение уравнения (4.114) известно и имеет вид

(р(т) = Atlexp(-ak„x). (4.116)

Решение уравнения (4.115) следует находить при граничных условиях

Для решения задачи Штурма — Лиувилля (4.115), (4.117) можно использовать один из прямых методов (методы Ритца или Галеркина).

В случае применения метода Ритца в соответствии с (4.30), (4.31) и (4.32) параграфа 4.4 задача о решении уравнения (4.115) при граничном условии (4.117) сводится к задаче об отыскании минимума функционала

Решение этой задачи будем искать в виде

где / — номер приближения; п — номер собственной функции, соответствующей «-му собственному числу; ф — некоторая полная система линейно-независимых функций.

Подставляя (4.119) в (4.118), получаем уравнение

260

Определяя частные производные от I но С^п и приравнивая их к нулю, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно С*я с коэффициентами, содержащими к„

Как известно из линейной алгебры, для того чтобы однородная система (4.121) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель ее A(&w2), т.е. зависящий от k„, был равен нулю.

Таким образом, для определения собственных значений k„ в задаче Штурма—Лиувилля получаем алгебраическое уравнение п-й степени

Решив это уравнение, получим первые п собственных чисел к*,

образующих последовательность

Для определения коэффициентов Clw, C2w,Сп следует каждое из полученных собственных значений kn подставить в систему уравнений (4.121) и получить нетривиальное решение этой системы. Так называемые собственные функции v|//„, которые обозначим просто через /т найдутся из соотношения (4.119).

Приближенное решение задачи в силу ее линейности можно записать в виде

Оставшиеся неизвестными произвольные постоянные А„ находятся из начального условия (4.108):

Эти коэффициенты будем искать, исходя из условий минимума функционала

В результате получим систему т алгебраических линейных уравнений с /7? неизвестными Ат

261

Если при построении приближенного решения использовать ортогональные системы координатных функций щ(х9у), то система уравнений (4.126) существенно упрощается и коэффициенты А> А2> Ат находятся из выражений

В качестве примера на применение метода рассмотрим задачу об охлаждении неограниченной пластины в следующей математической постановке:

где

5 — половина толщины пластины; — начальная температура; tCT температура стенки (граничная температура).

Решение задачи во втором приближении будем искать в виде

Приняв для простоты i2n = |/w, будем иметь две собственные функции

Примем

тогда

2 2

которые соответствуют двум собственным значениям k{ и k2.

Как следует из предыдущего, решение задачи сводится к отысканию минимума функционала

262

или, вследствие симметрии задачи, к минимуму функционала

Подставляя в последнее соотношение выражение для у„, получаем соотношение

Определяя производные по неизвестным Ск„ (к = п = ,2), находим

Отсюда относительно неизвестных Скп приходим к системе двух алгебраических линейных уравнений вида

Вводя обозначения для интегралов, получаем систему

Однородная система уравнений имеет нетривиальное решение в случае, если ее определитель равен нулю, т.е.

где

Определяя интегралы, получаем [10] значения

Подставляя эти значения в соотношение Д = 0 и раскрывая определитель, приходим к характеристическому уравнению для определения k% [77]:

Корни последнего уравнения (собственные числа) имеют вид

263

Точные значения собственных чисел краевой задачи Штурма — Лиувил- ля для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода составляют Я-! = 2,4674; Х2 = 22,2066 [49].

Подставляя в полученную выше систему уравнений к = 2,47, находим значения коэффициентов Си и С2|, а затем, подставив в эту систему k = 25,33, определяем С12 и С22:

Тогда

В соответствии с (4.126) коэффициенты Л( и Л2 находятся из решения системы уравнений

Окончательное решение задачи во втором приближении принимает вид

Отсюда

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >