Решение нестационарных задач теплопроводности путем совместного использования преобразования Лапласа и метода Галеркина

Рассмотрим двумерную задачу нестационарной теплопроводности об охлаждении тела при наличии внутренних источников теплоты в следующей математической постановке:

где ср изобарная теплоемкость; р — плотность.

Вводя для изображения по Лапласу обозначение

вместо (4.128а)—(4.130) в изображениях получаем 264

где

Приближенное решение задачи (4.132)—(4.133) будем искать методом Галеркина в виде

где ф*(х, у) удовлетворяют условиям (4.130), а

коэффициент-изображение.

В соответствии с методом Галеркина составим невязку

Потребуем ортогональности невязки к базисным функциям ф, (г = 1, п):

Подставляя (4.134) в (4.136), а (4.136) в (4.137), имеем систему уравнений

Таким образом, получаем систему алгебраических уравнений относительно Ci,(j))

Решение системы уравнений (4.139) найдем по правилу Крамера:

где

265

где

>

основной определитель системы (4.139); А,-* — алгебраические дополнения определителя А(р).

Применяя к функции (4.143) теоремы разложения и умножения изображений [831, в области оригиналов получаем выражение для С*(т):

где рт = 1,2,п) — простые корни уравнений А(/?) = 0 (являются отри- I ;ател ьны м и вели чинами).

Решение задачи в оригиналах в п-м приближении на основании (4.134) получаем в виде

Рассмотрим конкретный пример на совместное применение интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Галеркина. Пусть имеем неограниченную пластину (длина и ширина ее бесконечно велики но сравнению с толщиной) с начальной температурой 9q = 100°С. В начальный момент времени поверхности пластины мгновенно охлаждаются до температуры = 0°С, которая остается постоянной во время всего процесса охлаждения. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени охлаждения.

Математическая постановка задачи имеет вид

где 5 — толщина пластины; а — коэффициент температуропроводности.

После применения интегрального преобразования Лапласа по времени т задача (4.147)—(4.150) будет иметь вид

Приближенное решение задачи (4.151)—(4.153) по методу Галеркина разыскивается в виде

где за координатные функции (р*. берется система функций

Очевидно, что при этом Тп, р) будет удовлетворять нулевым граничным условиям (4.152), (4.153).

Для нахождения невязки решение (4.154), записанное в первом приближении в виде

подставим в уравнение (4.151) и потребуем ортогональности невязки к координатной функции cpi(x):

Подставляя (4.155) в (4.157), после интегрирования получаем соотношение

Последнее соотношение относительно неизвестного коэффициента-изображения С(р) представляет алгебраическое линейное уравнение. Из его решения находим уравнение

Переходя к оригиналам, в первом приближении имеем значение коэффициента

С учетом найденного значения коэффициента С{т) решение задачи (4.147)—(4.145) в первом приближении записывается в виде

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >