Решение нестационарных задач теплопроводности путем совместного использования преобразования Лапласа и метода Галеркина
Рассмотрим двумерную задачу нестационарной теплопроводности об охлаждении тела при наличии внутренних источников теплоты в следующей математической постановке:
где ср — изобарная теплоемкость; р — плотность.
Вводя для изображения по Лапласу обозначение
вместо (4.128а)—(4.130) в изображениях получаем
264
где
Приближенное решение задачи (4.132)—(4.133) будем искать методом Галеркина в виде
где ф*(х, у) удовлетворяют условиям (4.130), а
коэффициент-изображение.
В соответствии с методом Галеркина составим невязку
Потребуем ортогональности невязки к базисным функциям ф, (г = 1, п):
Подставляя (4.134) в (4.136), а (4.136) в (4.137), имеем систему уравнений
Таким образом, получаем систему алгебраических уравнений относительно Ci,(j))
Решение системы уравнений (4.139) найдем по правилу Крамера:
где
265
где
>
основной определитель системы (4.139); А,-* — алгебраические дополнения определителя А(р).
Применяя к функции (4.143) теоремы разложения и умножения изображений [831, в области оригиналов получаем выражение для С*(т):
где рт (т = 1,2,п) — простые корни уравнений А(/?) = 0 (являются отри- I ;ател ьны м и вели чинами).
Решение задачи в оригиналах в п-м приближении на основании (4.134) получаем в виде
Рассмотрим конкретный пример на совместное применение интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Галеркина. Пусть имеем неограниченную пластину (длина и ширина ее бесконечно велики но сравнению с толщиной) с начальной температурой 9q = 100°С. В начальный момент времени поверхности пластины мгновенно охлаждаются до температуры = 0°С, которая остается постоянной во время всего процесса охлаждения. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени охлаждения.
Математическая постановка задачи имеет вид
где 5 — толщина пластины; а — коэффициент температуропроводности.
После применения интегрального преобразования Лапласа по времени т задача (4.147)—(4.150) будет иметь вид
Приближенное решение задачи (4.151)—(4.153) по методу Галеркина разыскивается в виде
где за координатные функции (р*. берется система функций
Очевидно, что при этом Тп(х, р) будет удовлетворять нулевым граничным условиям (4.152), (4.153).
Для нахождения невязки решение (4.154), записанное в первом приближении в виде
подставим в уравнение (4.151) и потребуем ортогональности невязки к координатной функции cpi(x):
Подставляя (4.155) в (4.157), после интегрирования получаем соотношение
Последнее соотношение относительно неизвестного коэффициента-изображения С(р) представляет алгебраическое линейное уравнение. Из его решения находим уравнение
Переходя к оригиналам, в первом приближении имеем значение коэффициента
С учетом найденного значения коэффициента С{т) решение задачи (4.147)—(4.145) в первом приближении записывается в виде
