Шар (граничные условия первого рода)

В качестве конкретного примера рассмотрим также эффективность совместного применения методов Фурье и Бубнова —Галеркина в решении симметричной задачи теплопроводности для шара при граничных условиях первого рода в следующей математической постановке:

Следуя методу разделения переменных, решение задачи (5.40)—(5.43) разыскивается в виде

Функция у(х) удовлетворяет уравнению Бесселя вида где X = р2.

Граничные условия для уравнения (5.45) согласно (5.42), (5.43) будут иметь вид

Следуя методу Бубнова—Галеркина, решение задачи (5.40)—(5.43) разыскивается в виде (5.37), где г|(х) — координатные функции, определяемые по формуле (5.38).

Для нахождения неизвестных коэффициентов (k = 1, п) составляется невязка уравнения (5.45) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям г|ДХ):

Соотношение (5.48) представляет систему однородных алгебраических линейных уравнений вида (5.15), где

Из системы однородных уравнений находятся собственные числа и коэффициенты /у,. Коэффициенты О/, находятся из начального условия (5.41). Значения этих коэффициентов для шести приближений имеют вид

На графиках рис. 5.13 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (5.44) в шестом приближении в сравнении с точным решением [49]. Собственные числа для трех и шести приближений, а также точные их значения представлены в табл. 5.4.

Изменения невязки уравнения (5.40) и начального условия (5.41) представлены на рис. 5.14—5.16.

Графики распределения относительной избыточной температуры

Рис. 5.13. Графики распределения относительной избыточной температуры

в шаре:

--расчет по формуле (5.44) (шестое приближение); о — точное решение [49]

X

Число приближений

Точные значения [49]

3

6

h

3,1415297558036913

3,1415926535898953

3,1415926535897

^2

6,0765727288414808

6,2831847922848807

6,2831853071794

^3

9,6283983436758577

9,4206882364931279

9,4247779607691

^4

12,233008212496221

12,5663706143588

^5

15,820975356658641

15,7079632679485

^6

29,528848038011913

18,8495559215382

Рис. 5.16. Изменение невязки е начального условия при и = 6 (Fo = 0)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >