Применение локальных систем координат в задачах теплопроводности для многослойных тел

Применительно к решению задач теплопроводности для многослойных конструкций рассмотрим метод, связанный с применением локальных систем координат. При решении задач теплопроводности для многослойных

Графики распределения относительной избыточной температуры

Рис. 5.17. Графики распределения относительной избыточной температуры

в шаре:

--расчет по формуле (5.59) (шестое приближение); о — точное решение [49] (х = 1)

конструкций требуется находить системы координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения [46]. Применение локальных систем координат позволяет существенно упростить координатные функции ввиду того, что безразмерная координата в каждом слое изменяется от нуля до Д,- (/ = 1, е), где Д, — безразмерная толщина /-го слоя; е — число слоев.

Математическая постановка задачи для двухслойной пластины (рис. 5.21) в безразмерных переменных с использованием локальных систем координат имеет вид:

где г|, = Xi/Ъ — безразмерная координата /-го слоя; 0 = (7} - Гср)/(Г0 - Гср) — относительная избыточная температура; Fo = ат/Ъ1 число Фурье; Д,- = = 5,/6 — безразмерная толщина /-го слоя; 6 — суммарная толщина двухслойной системы; Bi = аЬ/Х2 число Био; Х2 ~ коэффициент теплопроводности второго слоя; а — наименьший из коэффициентов температуропроводности щ (/ = 1, 2); Гсо — температура среды.

Схема применения локальных систем координат

Рис. 5.21. Схема применения локальных систем координат

Следуя методу разделения переменных, решение задачи (5.61)—(5.66) разыскивается в виде

где р = v2 — некоторая постоянная.

Решение уравнения (5.68) имеет вид

Граничные условия и условия сопряжения для уравнения (5.69) будут иметь вид

Решение уравнения (5.69) с граничными условиями (5.71)—(5.74) разыскивается в виде (ограничимся шестью приближениями)

где С/,, (k = 0, 5) — неизвестные коэффициенты; Nki(Xj) — координатные функции, определяемые соответственно для первого и второго слоев по формулам

где Вц„ Dzk, E2k (k = 0, 5) — коэффициенты, определяемые для каждого приближения из граничных условий (5.71)—(5.74).

Составляя невязку уравнения (5.69) и требуя ортогональности невязки ко всем координатным функциям Л^,(х,), найдем систему уравнений

Отсюда для определения собственных чисел получим систему шести однородных алгебраических уравнений. Однородная система имеет нетривиальное решение в случае, если определитель ее равен нулю. Раскрывая определитель, для нахождения собственных чисел получим алгебраическое уравнение

Корни этого полинома имеют вид

Подставляя найденные значения р„ (и = 1, 6) в однородную систему, находим коэффициенты С^. Собственные функции находятся из (5.75).

Соотношение (5.67) с учетом найденных значений коэффициентов Chj (k = 0, 5; i = 1, 2) и собственных чисел р„ {п = 1, 6) примет вид

292

Частные решения (5.78) точно удовлетворяют граничным условиям (5.63)—(5.66) и приближенно (в зависимости от количества найденных собственных чисел) дифференциальному уравнению (5.61). Но ни одно из этих частных решений не удовлетворяет начальному условию (5.62). Для того чтобы удовлетворить начальному условию, составим сумму частных решений (5.78):

Для определения неизвестных коэффициентов Ап (п = 1, е) составляется невязка начального условия и требуется ортогональность невязки ко всем собственным функциям:

После определения интегралов соотношение (5.80) относительно неизвестных коэффициентов Ап (п = 1, е) представляет систему е = 6 алгебраических линейных уравнений. При известных коэффициентах Ап решение задачи (5.61)—(5.66) в замкнутом виде находится из (5.79).

На рис. 5.22—5.25 цифрами 1, 2, 3 обозначено: 1 — метод дополнительных граничных условий [38]; 2 — локальная система координат; 3 — по формуле (2.234) [38].

Изменение невязки а уравнения (5.61) для второго слоя при Fo = 0,2

Рис. 5.23. Изменение невязки а уравнения (5.61) для второго слоя при Fo = 0,2

Рис. 5.22. Изменение невязки е уравнения (5.61) для первого слоя при Fo = 0,2

Изменение невязки начального условия для второго слоя

Рис. 5.25. Изменение невязки начального условия для второго слоя

Рис. 5.24. Изменение невязки начального условия для первого слоя

На графиках рис. 5.25* представлены результаты расчетов, полученные несколькими методами:

  • • точный аналитический метод (данные взяты из [8]);
  • • метод прогонки;
  • • метод дополнительных граничных условий [38];
  • • совместное использование метода Фурье и ортогонального метода Бубнова — Галсркина с использованием локальных систем координат (расчет по формуле (5.79) в шестом приближении);
  • • метод Канторовича (расчет по формуле (3.182) [38]) в шестом приближении).
*. Распределение температуры в двухслойной пластине

Рис. 5.25*. Распределение температуры в двухслойной пластине:

--метод прогонки; о — по данным |8|; х — по формуле (5.79) (третье приближение);

д — по формуле (3.182) из [38]; ? — по формуле (2.234) [38] (шестое приближение)

Исходные данные задачи были следующие: 5t = 0,002 м; §2 = 0,004 м; = = 12,5 • 10-6 м2/с; а2 = 6-10 6 м2/с; X, = 45,24 Вт/(м ? К); Х2 = 16,24 Вт/(м • К); Bi = 2; а = а2.

Анализ результатов позволяет заключить об удовлетворительном совпадении безразмерных температур, полученных всеми методами. Особо следует отметить примерно одинаковую точность решения со всеми остальными методами при использовании метода дополнительных граничных условий (см. главу 7), несмотря на то что решение здесь получено лишь в третьем приближении. Объяснение этого факта следует искать в том, что благодаря использованию дополнительных граничных условий удается при меньшем числе приближений лучше удовлетворить дифференциальному уравнению (5.61).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >