АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КАНТОРОВИЧА

После изучения главы б бакалавр должен:

знать

  • • теорию методов Л. В. Канторовича и Бубнова — Галеркииа;
  • • основные теоретические положения взаимосвязанного тепломассопереноса;
  • • математические особенности задания переменных во времени граничных условий;

уметь

• выполнять математические постановки нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций, а также задач взаимосвязанного тепломассопереноса;

владеть

• математическим аппаратом получения аналитических решений краевых задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды и переменными во времени граничными условиями.

Совместное использование методов Канторовича и Бубнова-Галеркина

Аналитические решения, полученные с помощью классических методов (Фурье, интегральных преобразований и др.), состоят из громоздких функциональных рядов, в некоторых случаях (цилиндр, шар) содержащих специальные функции (Бесселя). Более удобные для практических приложений решения можно получить с помощью приближенных аналитических, или так называемых прямых методов. К ним, в частности, относятся вариационные (Ритца, Канторовича), а также методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова —Галеркина). В ряде случаев весьма полезным оказывается их совместное использование. Такой подход позволяет получать эффективные решения задач теплопроводности с переменными но координатам физическими свойствами среды, с переменными во времени граничными условиями, нелинейных задач теплопроводности и др. 127, 28, 43-46, 83].

Эффективность совместного использования методов Канторовича и Бубнова —Галеркина рассмотрим на примере решения нестационарной задачи теплопроводности для неограниченной пластины при симметричных граничных условиях первого рода. Математическая постановка задачи имеет вид

где 0 = (Г - T)/(Tq - Т) — относительная избыточная температура; х = = г|/5 — безразмерная координата; г| — координата; 8 — половина толщины пластины; Т0 начальная температура; Т — температура пластины при х= 1; Fo = ах/Ъ2 число Фурье; а — коэффициент температуропроводности; т - время.

Решение задачи (6.1)—(6.4), следуя методу Канторовича, в нулевом приближении разыскивается в виде [46]

где f(Fo) — неизвестная функция времени; cpi(x) — координатная функция. В качестве координатной возьмем функцию

Соотношение (6.5), учитывая (6.6), точно удовлетворяет граничным условиям (6.3), (6.4). Для нахождения неизвестной функции времени в нулевом приближении, подставляя (6.5) в (6.1), составим интеграл взвешенной невязки уравнения (6.1)

Отсюда приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции f(Fo):

Разделяя переменные и интегрируя, получаем уравнение

где С — постоянная интегрирования, определяемая из начального условия (6.2). Для этого находится интеграл взвешенной невязки начального условия

Определяя интеграл в последнем соотношении относительно постоянной интегрирования, получим алгебраическое линейное уравнение, из решения которого находим С = 1,5.

Подставляя (6.7) в (6.5), найдем решение задачи (6.1)—(6.4) в нулевом приближении:

Решение задачи (6.1)—(6.4) для любого числа приближений разыскивается в виде

где фДх) = 1 - х координатные функции (k = 1, п).

Соотношение (6.8) благодаря принятой конструкции координатных функций точно удовлетворяет граничным условиям (6.3), (6.4). Для нахождения неизвестных функций времени /ДТо) составляется невязка уравнения (6.1) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям фДх):

Определяя интегралы в (6.9), относительно неизвестных функций времени приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Частные решения системы уравнений (6.10) разыскиваются в виде

где Duг, (/' = k = 1, /?); р — некоторые пока неизвестные постоянные.

Подставляя (6.11) в (6.10), получим систему однородных алгебраических линейных уравнений

Однородная система имеет нетривиальное решение в случае, если ее определитель равен 0, т.е.

Раскрывая определитель, относительно р получим алгебраический полином п-й степени. Так как элементы матрицы положительны и симметричны относительно главной диагонали, то корни ц/, (k = 1, п) должны быть действительными отрицательными числами. Эти корни являются приближенными значениями собственных чисел краевой задачи Штурма—Лиу- вилля применительно к уравнению теплопроводности с граничными условиями первого рода.

Подставляя р/, в (6.12), для каждого собственного числа находятся неизвестные коэффициенты Djk(k = j = 1, п). При этом в однородной системе (6.12) следует положить Оц = 1 (J = 1, п). Неизвестные функции времени находятся из (6.11):

или

Соотношения (6.14) являются частными решениями системы уравнений (6.10). Для нахождения общего решения этой системы умножим частное решение, отвечающее корню р(, на произвольную постоянную С, решение, отвечающее р2> — на С2 и т.д. Тогда решение (6.8) примет вид

или

Постоянные Ск находятся из начального условия (6.2). Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям:

Соотношение (6.17) после определения интегралов относительно коэффициентов Ск = 1, п) является системой алгебраических линейных уравнений. Из решения этой системы находим значения коэффициентов

После нахождения Ск окончательное решение задачи (6.1)—(6.4) в замкнутом виде находится из (6.16).

Решение задачи (6.1)—(6.4) в первом и втором приближениях соответственно имеет вид [38]

306

На графиках рис. 6.1 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (6.16) в шестом приближении в сравнении с точным решением [49]. Собственные числа для пяти, шести и десяти приближений, а также точные их значения представлены в табл. 6.1.

Графики распределения относительной избыточной температуры

Рис. 6.1. Графики распределения относительной избыточной температуры

в пластине:

расчет по формуле (6.16) (шестое приближение); о — точное решение [49]

Таблица 6.1

и

Число приближений

Точные значения [49]

5

6

10

Pi

2,4674011002723

2,46740110027

2,46740110027233

2,46740110027219

Ц2

22,20661234

22,2066099061

22,206609902451

22,2066099024497

Рз

61,7606

61,686

61,68502750680

61,685027506804

132,9179

122,0150056

120,902654008

120,902653913

Из

463,1473

242,337371

199,680266396

199,85948912

Рб

869,2873

298,88633257

298,55553313

И7

430,77422118

416,9907859

Ц8

687,4122379

555,1652475

Мч

1432,1351

713,0789179

I-Чо

5483,6701

890,7317971

Анализ полученных результатов показывает, что в пятом и шестом приближениях достаточно хорошо согласуются с точными значениями первые три (пятое приближение) и первые четыре (шестое приближение) собственных числа, в десятом приближении — первые шесть собственных чисел. Причем с увеличением числа приближений собственные числа с низшими порядковыми номерами всякий раз уточняются.

Анализируя графики рис. 6.1, можно заметить, что в шестом приближении безразмерные температуры в диапазоне 0,001 < Fo < °° практически совпадают с их точными значениями.

Изменения невязок уравнения (6.1) и начального условия (6.2) представлены на графиках рис. 6.2—6.4. Их анализ позволяет заключить, что максимальная невязка уравнения (6.1) имеет место в точке х= 1, и особен-

Изменение невязки 8 уравнения (6.1) при п = 6 (Fo = 0,1)

Рис. 6.2. Изменение невязки 8 уравнения (6.1) при п = 6 (Fo = 0,1)

Изменение невязки 8 уравнения (6.1) во времени для п = 2ии = 6в точке х = 1

Рис. 63. Изменение невязки 8 уравнения (6.1) во времени для п = 2ии = 6в точке х = 1

Изменение невязки 8 начального условия при п - 6 (Fo = 0)

Рис. 6.4. Изменение невязки 8 начального условия при п - 6 (Fo = 0)

но при малых значениях числа Фурье (см. рис. 6.2, 6.3). Такие результаты можно объяснить тем, что при х = 1 и Fo —*? 0 уравнение не определено. В связи с чем ряд (6.16) в этих точках плохо сходится, и для получения более точных решений необходимо делать большое число приближений.

Максимальная невязка начального условия (см. рис. 6.4) также имеет место в точке х = 1 и равна с = -1. Это объясняется тем, что решение (6.16) в точке х = 1 в любой момент времени удовлетворяет граничному условию первого рода вида (6.4). Невязка начального условия во всем диапазоне изменения координаты х (исключая точку х = 1, где она всегда равна -1) уменьшается с увеличением числа приближений.

Следует отметить, что с увеличением числа приближений определение собственных чисел р/, (k = 1, п) из (6.10), коэффициентов (j = k = 1, п) из (6.12), а также коэффициентов С (k = 1, п) из (6.17) следует выполнять с высокой точностью промежуточных вычислений ввиду плохой обусловленности матриц коэффициентов систем алгебраических линейных уравнений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >