Цилиндр (граничные условия первого рода)

Эффективность совместного использования методов Канторовича и Бубнова —Галеркина рассмотрим также на примере решения нестационарной задачи теплопроводности для неограниченного цилиндра при симметричных граничных условиях первого рода. Математическая постановка задачи имеет вид

где х = т|/8 — безразмерная радиальная координата; 8 — радиус цилиндра. Остальные обозначения те же, что и в параграфе 6.1.

Решение задачи (6.18)—(6.21), следуя методу Канторовича, разыскивается в виде

где fit(Fo) — неизвестные функции времени; ср/;(.т) — координатные функции, определяемые по формуле

Соотношение (6.22) благодаря принятой конструкции координатных функций точно удовлетворяет граничным условиям (6.20), (6.21). Для нахождения неизвестных функций времени/ДДо) составляется невязка уравнения (6.18) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям:

Определяя интегралы в (6.24), относительно неизвестных функций времени приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (6.10), где

Частные решения системы уравнений (6.10) разыскиваются в виде (6.11).

Подставляя (6.11) в (6.10), получим систему однородных алгебраических уравнений вида (6.12). Раскрывая определитель этой системы относительно р, получим алгебраический полином п-й степени.

Постоянные Q, находятся из начального условия (6.19) путем решения системы алгебраических линейных уравнений вида (6.17). Из решения этой системы, например, для п = 6 находим значения постоянных

После нахождения С окончательное решение задачи (6.18)—(6.21) в замкнутом виде находится из (6.22).

На графиках рис. 6.5 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (6.22) в шестом приближении в сравнении с точным решением [49]. Собственные числа для трех и шести приближений, а также точные их значения представлены в табл. 6.2.

Анализ полученных результатов показывает, что с увеличением числа приближений собственные числа с низшими порядковыми номерами всякий раз уточняются.

Анализируя графики рис. 6.5, можно заметить, что в шестом приближении безразмерные температуры в диапазоне 0,005 < Fo < °° практически совпадают с их точными значениями.

Изменения невязок уравнения (6.18) и начального условия (6.19) представлены на графиках рис. 6.6—6.8. Их анализ позволяет заключить, что максимальная невязка уравнения (6.18) имеет место в точке х = 1. Максимальная невязка начального условия (см. рис. 6.8) также имеет место в точке х = 1 и равна е = -1.

Графики распределения относительной избыточной температуры

Рис. 65. Графики распределения относительной избыточной температуры

в цилиндре:

--расчет по формуле (6.22) (шестое приближение); ° — точное решение [49)

Таблица 6.2

р

Число приближений

Точные значения [49]

3

6

Pi

2,39423637304

2,4047065520911

2,404825558

Р2

5,6142386383

5,4987127070888

5,5200781

Из

35,850464006

8,5209085081991

8,6537279

Р4

12,886651839753

11,79153444

Рз

25,597422062446

14,93091771

Рк

1737,7421457052

18,07106397

Изменение невязки е уравнения (6.18) при и = 6 (Fo = 0,1)

Рис. 6.6. Изменение невязки е уравнения (6.18) при и = 6 (Fo = 0,1)

Изменение невязки е уравнения (6.18) во времени для и = 6 в точкех = 1

Рис. 6.7. Изменение невязки е уравнения (6.18) во времени для и = 6 в точкех = 1

Изменение невязки е начального условия при п = 6 (~Fo = 0)

Рис. 6.8. Изменение невязки е начального условия при п = 6 (~Fo = 0)

Математическая постановка нестационарной задачи теплопроводности для шара при симметричных граничных условиях первого рода имеет вид

где обозначения те же, что и в задаче параграфа 6.2.

Решение задачи (6.26)—(6.29), следуя методу Канторовича, разыскивается в виде (6.22), где fk(Fo) — неизвестные функции времени; срДх) — координатные функции, определяемые по формуле (6.23).

Соотношение (6.22) точно удовлетворяет граничным условиям (6.28), (6.29). Для нахождения неизвестных функций времениfk(Fo) составляется невязка уравнения (6.26) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям:

Определяя интегралы в (6.30), относительно неизвестных функций времени приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (6.10). Последовательность дальнейшего решения задачи совпадает с решениями для пластины и цилиндра.

Коэффициенты Q для шести приближений в данном случае будут равны

После нахождения С* окончательное решение задачи (6.26)—(6.29) в замкнутом виде находится из (6.22).

На графиках рис. 6.9 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (6.22) в шестом приближении в сравнении с точным решением [49]. Собственные числа для трех и шести приближений, а также точные их значения [49] представлены в табл. 6.3.

Таблица 63

в

Число приближений

Точные значения [49]

3

6

Pi

3,1415297558036913

3,1415926535898953

3,1415926535897

Р2

6,0765727288414808

6,2831847922848807

6,2831853071794

Рз

9,6283983436758577

9,4206882364931279

9,4247779607691

Р4

12,233008212496221

12,5663706143588

Рз

15,820975356658641

15,7079632679485

Рб

29,528848038011913

18,8495559215382

Графики распределения относительной избыточной температуры

Рис. 6.9. Графики распределения относительной избыточной температуры

в шаре:

--расчет по формуле (6.22) (шестое приближение); о — точное решение [49]

Анализируя графики рис. 6.9, можно заметить, что в шестом приближении безразмерные температуры в диапазоне 0,005 < Fo < °° практически совпадают с их точными значениями.

Изменения невязок уравнения (6.26) и начального условия (6.27) представлены на графиках рис. 6.10—6.12.

Изменение невязки е уравнения (6.26) при п = 6 (шесть приближений) (Fo = 0,05)

Рис. 6.10. Изменение невязки е уравнения (6.26) при п = 6 (шесть приближений) (Fo = 0,05)

Изменение невязки е уравнения (6.26) во времени для п = 6 в точке х = 1

Рис. 6.11. Изменение невязки е уравнения (6.26) во времени для п = 6 в точке х = 1

Изменение невязки е начального условия при п = 6 (Fo = 0)

Рис. 6.12. Изменение невязки е начального условия при п = 6 (Fo = 0)

Задачи теплопроводности при неоднородных и несимметричных граничных условиях третьего рода представляют большой практический интерес для изучения теплопередачи в системе среда — стенка — среда. Теоретические исследования подобных задач для пластины, полого цилиндра и сферической оболочки приводят к сложным математическим преобразованиям, а температурные поля в этих телах выражаются громоздкими функциональными рядами. Все это затрудняет внедрение полученных решений в практику инженерных расчетов.

Для решения таких задач достаточно эффективными оказываются приближенные аналитические методы (вариационные, взвешенных невязок, коллокаций и др.). Ниже будет рассмотрена последовательность совместного применения метода Канторовича и ортогонального метода Бубнова — Галеркина применительно к решению задачи теплопроводности для бесконечной пластины при несимметричных граничных условиях третьего рода. Математическая постановка задачи имеет вид

где 0 = (Г- Г0)/(Г2 - Г0); D = (Г0 - ТХ)/(Т2 - Т{); Вц = сцбД; Bi2 = а25Д; 7*1, Т2 — температуры сред; Tq — начальная температура; Fo = ах/Б2.

Решение задачи (6.32)—(6.35) представляется в виде суммы двух функций:

где ®с(х) ~ решение стационарной задачи теплопроводности с неоднородными граничными условиями (6.34), (6.35); 0(x, Fo) — решение нестационарной задачи с соответствующими однородными граничными условиями. Решение стационарной задачи принимается в виде

где F и F2 — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (6.34), (6.35).Формулы для них будут [83] иметь вид

Математическая постановка задачи для функции 0(х, Fo) имеет вид

313

Решение задачи (6.38)—(6.41), следуя ортогональному методу Канторовича, разыскивается в виде

где fk(Fo) — неизвестные функции времени; ф/,(х) — координатные функции, определяемые таким путем, чтобы точно удовлетворялись граничные условия (6.40), (6.41).

Координатная функция первого приближения фДж) находится но формуле

где коэффициенты Ф] и Ф2, определяемые из граничных условий (6.40), (6.41), имеют вид [83]

Координатные функции последующих приближений фДл-) = 2, п) определяются по формуле

где коэффициенты ?), (k = 2, и) в каждом приближении находятся из граничных условий (6.40), (6.41). Общая формула для них будет иметь вид

Соотношение (6.42) при использовании координатных функций вида (6.43), (6.44) в любом приближении точно удовлетворяет граничным условиям (6.40), (6.41). Для нахождения неизвестных функций времени fu{Fo), следуя методу Бубнова—Галеркина, составляется невязка уравнения (6.38) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям:

Определяя интегралы в (6.46), относительно неизвестных функций времени приходим к однородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (6.10).

Частные решения системы уравнений (3.10) разыскиваются в виде

где Djhij = k = 1, п), р — неизвестные постоянные.

Подставляя (6.47) в (6.10), получим систему однородных алгебраических уравнений вида (6.12). Раскрывая определитель этой системы, относи-

в

Число приближений

Точные значения [17]

3

5

7

ш

3,40485947352795

3,4043310724302582

3,4042981829408284

3,404290543

М2

17,7139992790913

17,687640077383552

17,684352364724651

17,68368007

Мз

53,2112357112054

48,607252525074851

48,577611108577534

48,56901742

М4

100.00290025457549

98,397289097564614

98,357137508

М5

248,61225085287564

168,32205281976859

167,633133513

м«

292,47963365561143

256,555082383

М7

770,86425671457664

641,57989242

тельно р получим алгебраический полином п-й степени. При Вц = 2 и Bi2 = 3 собственные числа для трех, пяти и семи приближений в сравнении с точными их значениями [17] представлены в табл. 6.4.

Точные значения собственных чисел определялись из уравнения 1171

Формула для неизвестных функций времени принимает вид

Соотношение (6.48) является частным решением системы уравнений (6.10). Для нахождения общего решения этой системы умножим частное решение, отвечающее корню pt, на произвольную постоянную С, отвечающее р2 — на С2 и т.д. Тогда решение (6.42) примет вид

Постоянные Q находятся из начального условия (6.33). Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям:

Соотношение (6.50) после определения интегралов относительно коэффициентов С/. (k= 1. п) представляет систему алгебраических линейных уравнений. В седьмом приближении (и = 7) получены следующие их значения:

После определения Q окончательное решение задачи (6.32)—(6.35) в замкнутом виде находится из (6.36).

На графиках рис. 6.13 представлены результаты расчетов безразмерной температуры 0(х, Fo) по формуле (6.36) в седьмом приближении в сравне-

Графики распределения относительной избыточной температуры

Рис. 6.13. Графики распределения относительной избыточной температуры

для пластины:

--расчет по формуле (б.Зб) (седьмое приближение);----точное решение [ 171

нии с точным решением [17] для Bi{ = 2, Bi2 = 3. Анализируя эти результаты, можно отметить, что полученные в настоящей работе безразмерные температуры при Fo > 0,002 практически совпадают с их точными значениями.

Анализируя невязку 8 уравнения (6.32) по координате х при Fo = 0,2 (рис. 6.14), можно заметить, что максимальное значение 8 принимает в граничных точкахх = 0 их = 1. Анализ изменения невязки уравнения (6.32) во времени в точках х = 0 (рис. 6.16) и х = 1 (рис. 6.15) показывает, что максимальная невязка имеет место в начальные моменты времени. С увеличением времени навязка уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю при больших значениях числа Фурье.

Максимальная невязка начального условия (6.33) имеет место при х = 1 (рис. 6.17). С увеличением числа приближений невязка начального условия (так же, как и невязка уравнения (6.32)) уменьшается.

Изменение невязки 8 уравнения (6.32) при п = 7 (семь приближений) (Fo = 0,2)

Рис. 6.14. Изменение невязки 8 уравнения (6.32) при п = 7 (семь приближений) (Fo = 0,2)

Изменение невязки 8 уравнения (6.32) во времени при п = 7 в точке х = 1

Рис. 6.15. Изменение невязки 8 уравнения (6.32) во времени при п = 7 в точке х = 1

Изменение невязки е уравнения (6.32) во времени при п = 7 в точке л

Рис. 6.16. Изменение невязки е уравнения (6.32) во времени при п = 7 в точке л: = 0

Изменение невязки 8 начального условия при п = 7 (Fo = 0)

Рис. 6.17. Изменение невязки 8 начального условия при п = 7 (Fo = 0)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >