Температура среды - экспоненциальная функция времени

Рассмотрим совместное использование метода Канторовича и ортогонального метода Бубнова —Галеркина применительно к решению задачи теплопроводности для бесконечно протяженной пластины при экспоненциальном изменении температуры среды. Математическая постановка задачи имеет вид

где 7'ср(т) = Тм - (Тм- Т01п температура среды; b — коэффициент; Гм — максимальная температура внешней среды.

Введем безразмерные переменные и параметры:

С учетом принятых обозначений задача (6.138)—(6.141) принимает вид

Следуя методу Канторовича, решение задачи (6.143)—(6.146) в первом приближении [48, 46] принимается в виде

. Bi + 2 п

где f(Fo) — неизвестная функция времени; cpi(jr) =--х — координат-

Bi

пая функция.

Благодаря принятой конструкции координатной функции фДх) соотношение (6.147) точно удовлетворяет граничным условиям (6.145), (6.146). Для нахождения неизвестной функции времени f(Fo) в нулевом приближении составляется интеграл взвешенной невязки дифференциального уравнения (6.143):

Определяя интегралы в (6.148), относительно неизвестной функции времени приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка

Общий интеграл уравнения (6.149) будет иметь вид

где С — постоянная интегрирования.

Подставляя (6.150) в (6.147), получим соотношение

Для определения постоянной интегрирования составляется интеграл взвешенной невязки начального условия

Отсюда С = 0,5Pd.

С учетом найденного значения постоянной интегрирования соотношение (6.151) в нулевом приближении принимает вид

Для получения решения задачи (6.143)—(6.146) в первом приближении в соотношениях (6.148), (6.152) следует потребовать ортогональность невязок к координатной функции срДх). Тогда решение задачи в первом приближении будет иметь вид

Соотношение (6.154) полностью совпадает с решением в первом приближении задачи (6.143)—(6.146), полученным в работе 1831 путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова — Галеркина.

Решение задачи (6.143) (6.146) при любом числе приближений находится в виде

Вг + 2k 2k

где tykx) =--x — координатные функции.

Bi

При использовании таких координатных функций соотношение (6.155) в любом приближении удовлетворяет граничным условиям (6.145), (6.146). Найдем решение задачи во втором приближении. Для нахождения fk(Fo) (k= 1,2) из условия ортогональности невязки уравнения (6.143) к координатным функциям (рДх) и ф2(.г) получим соотношение вида (6.125).

Определяя интегралы в (6.125), относительно неизвестных функций времени приходим к системе двух неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка вида (6.82), где

Дальнейшая последовательность решения задачи полностью совпадает с решением задачи параграфа 6.6.

Решая систему уравнений (6.93), (6.94), получим соотношения

Разделяя переменные в (6.156), (6.157), будем иметь соотношения

Интегрируя (6.158), (6.159), получим соотношения

где ?, — постоянная интегрирования (так как находится частное решение, то можно принять ? = 0).

Подставляя (6.160), (6.161) в (6.91), (6.92), получим соотношения

Подставляя соотношения (6.89), (6.90), (6.162), (6.163) в (6.83), (6.84), найдем соотношения

Подставляя (6.164), (6.165) в (6.155), получим соотношение

Для определения постоянных С и С2 составляется невязка начального условия (6.139) и требуется ортогональность невязки к координатным функциям (pi(x) и ф2(дг):

Из решения системы двух алгебраических линейных уравнений (6.167) находятся постоянные С и С2. После их определения решение задачи

(6.143)—(6.146) в замкнутом виде находится из (6.166).

Результаты расчетов относительной избыточной температуры по формуле (6.166) в сравнении с точным решением [49] представлены на графиках рис. 6.27. В точном решении было взято 30 членов ряда (формула (9), с. 289 из [49]).

Собственные числа для двух и четырех приближений при Bi= 1, а также точные их значения представлены в табл. 6.7.

Анализируя изменение невязки в уравнения (6.143) по координате х (Fo= 0,01) (рис. 6.28), можно заметить, что максимальное значение она принимает в точке х = 1. Анализ изменения невязки уравнения (6.143) во времени в точках х = 0 и х = 1 (рис. 6.29, 6.30) показывает, что при Fo > 0,08 она становится практически равной нулю. Невязка начального условия во

Графики распределения относительной избыточной температуры

Рис. 6.27. Графики распределения относительной избыточной температуры

  • (Bi = 1):
  • --расчет по формуле (6.155) (четвертое приближение);
  • ------точное решение [49]

X

Число приближений

Точные значения [49]

2

4

0,86033361831

0,860333589028290

0,86033358901938148

к2

3,464594611

3,42561892126255

3,425618459481728

*3

6,44986878307776

6,4372981791719471

^4

10,71473561814056

9,5293344053619636

Изменение невязки е уравнения (6.143) от координаты х при п- 4 (Fo = 0,01, Bi= 1)

Рис. 6.28. Изменение невязки е уравнения (6.143) от координаты х при п- 4 (Fo = 0,01, Bi= 1)

Изменение невязки г уравнения (6.143) во времени для п = 4 в точке х = 0 (Bi = 1)

Рис. 6.29. Изменение невязки г уравнения (6.143) во времени для п = 4 в точке х = 0 (Bi = 1)

Изменение невязки е уравнения (6.143) во времени для п = 4

Рис. 6.30. Изменение невязки е уравнения (6.143) во времени для п = 4

в точке х = 1 (Bi = 1)

всем диапазоне координаты х равна нулю. Отметим, что нулевая невязка начального условия имеет место уже в нулевом и первом приближениях (см. формулы (6.153), (6.154)).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >