Нелинейные задачи теплопроводности для многослойных тел

Изучение нелинейных процессов представляет большой практический интерес, так как подавляющее большинство процессов, протекающих в природе, являются нелинейными. Учет нелинейности значительно усложняет математическую постановку задачи. Точные решения известны лишь для весьма малого круга наиболее простых задач, поэтому весьма актуальной является проблема получения хотя бы приближенных решений таких задач.

Для получения приближенных аналитических решений нелинейных задач весьма полезным оказывается применение прямых методов (вариационных, взвешенных невязок). Среди этих методов особенно эффективным оказывается метод Канторовича [28], позволяющий получать их решения без предварительной линеаризации. Решение нелинейных задач теплоироводности для многослойных конструкции связано с трудностями определения координатных систем, удовлетворяющих условиям сопряжения. Применение способов построения координатных систем, рассмотренных выше, позволяет свести задачу для многослойной конструкции к решению обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций времени.

Найдем решение нелинейной задачи теплопроводности для многослойной пластины при идеальном тепловом контакте на границах слоев. Математическая постановка задачи при линейной зависимости коэффициента теплопроводности каждого слоя от температуры л,(7) = /Ч),( 1 + [37) (У = 1, т) будет иметь вид

где Я, = щ/а (г = 1, т) — безразмерный коэффициент температуропроводности; Тс температура стенки; х, = Jxm относительная координата; х,„ — толщина многослойной пластины; Fo = ai/x2m — число Фурье; Гш — начальная температура.

Решение краевой задачи (6.168)—(6.172), следуя методу Канторовича, разыскивается в виде

где <р,(х) — координатные функции, определяемые из общей формулы [38,46]

Выражение (6.173) в случае, когда в качестве координатных взяты функции, получаемые из формулы (6.174), точно удовлетворяет граничным условиям (6.170), (6.172) и условиям сопряжения (6.171). Для нахождения неизвестной функции времени в нулевом приближении приходим к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению

где

Общее решение уравнения (6.175) имеет вид где v = -N2/N{] q = N2/N.

Для определения постоянной интегрирования С необходимо найти функцию f(Fo) при Fo = 0. Функцию /(0) найдем, используя начальное условие (6.169).

Отсюда/(0) = ш - Tc)/N.

Формула для постоянной интегрирования приводится к виду

Решение задачи (6.168)—(6.172) при одинаковой начальной температуре всех контактирующих тел в нулевом приближении примет вид

где А Т= Гш - Тс.

Решение задачи в первом приближении записывается формулой где

Если положить (3 = 0, А,01 = Х02 = ... = Х0гПУ я01 = а02 = ... = а0гПУ то формула (6.178), записанная для относительной избыточной температуры, принимает вид

В качестве конкретного примера найдем решение нелинейной задачи теплопроводности для двухслойной пластины при следующих исходных данных:

335

Формулы для координатных функций, согласно выражению (6.174), будут иметь вид

Выражения (6.177), (6.178) для относительной избыточной температуры принимают вид

Результаты расчетов по формулам (6.179) и (6.180) представлены на графиках рис. 6.31. На графиках рис. 6.32 содержатся результаты решения нелинейной и соответствующей линейной задач.

Графики распределения температуры в двухслойной пластине

Рис. 6.31. Графики распределения температуры в двухслойной пластине:

  • --по формуле (6.179); о — по формуле
  • (6.180); Р = 0.005 1/К
Графики распределения температуры в двухслойной пластине

Рис. 6.32. Графики распределения температуры в двухслойной пластине:

--решение линейной задачи (Р = 0);

о - по формуле (6.180); 0 = 0,005 1 /К

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >