Аналитические решения задач взаимосвязанного тепломассопереноса

Система уравнений тепломассопереноса была предложена А. В. Лыковым и вошла в общую теорию тепломассопереноса как система дифференциальных уравнений сушки [51]. Решение этой системы методами функций Грина и интегральных преобразований связано со значительными трудностями. Применение метода Канторовича позволяет получить достаточно простые приближенные аналитические решения в случае, если найдены координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям и условиям сопряжения (для контактных задач) краевой задачи.

Математическая постановка задачи взаимосвязанного тепломассопереноса для бесконечно протяженной пластины имеет вид

где U — удельное массосодержание (влагосодержание) связанного вещества в виде жидкости и пара; al} (j, i= 1,2) — коэффициенты переноса теплоты и массы; / — толщина пластины.

Решение задачи (6.181)—(6.185) разыскивается в виде

где/i(t),/2(t) — неизвестные функции времени; фДх) = I2 - х2 координатная функция.

Соотношения (6.186), (6.187) удовлетворяют граничным условиям (6.184), (6.185). Неизвестные функции времени находятся из выполнения дифференциальных уравнений (6.181), (6.182). Найдем решение краевой задачи в нулевом приближении. Для этого составим невязки дифференциальных уравнений (6.181), (6.182) и потребуем ортогональность невязки к координатной функции, равной единице. Отсюда относительно неизвестных функций времени ft(т) и /2(1) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

где b = I2/3.

Частные решения системы уравнений (6.188) разыскиваются в виде

где А, Д г — неизвестные постоянные.

Подставляя (6.189) в (6.188), относительно неизвестных / получим однородную систему алгебраических линейных уравнений

Корни г; (г = 1, 2), получаемые из определителя этой системы, будут находиться по формуле

где dy = (а22 + ап)/Ь] d2 = (аиа22 + аЛ2а)/Ь2.

Подставляя Г и г2 в (6.190), получим соотношения

Общие решения вида (6.186), (6.187) будут определяться как сумма частных решений, т.е.

337

где С и С2 неизвестные постоянные, определяемые из начальных условий (6.183) краевой задачи. Для этого составляется их невязка и требуется ортогональность невязки к координатной функции, равной единице. Отсюда для определения неизвестных постоянных С и С2 получаем систему алгебраических уравнений вида

Этой системе уравнений удовлетворяют следующие значения С и С2:

После определения постоянных С и С2 решение краевой задачи (6.181)—(6.185) в замкнутом виде находится из (6.191), (6.192).

Если положить я 12 = ^21 = 0, то для расчета безразмерной температуры в нулевом приближении получим формулу

Найдем решение конкретной задачи тепломассопереноса при следующих исходных данных:

Результаты решения представлены на рис. 6.33, 6.34. Для температуры на графике рис. 6.34 дано сравнение с точным решением [50].

График изменения влагосодержания от времени (х = 0)

Рис. 6.33. График изменения влагосодержания от времени (х = 0)

График изменения температуры от времени (х = 0)

Рис. 6.34. График изменения температуры от времени = 0):

--расчет по формуле (6Л92);

о — точное решение [50]

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >