КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОТОКАХ ЖИДКОСТЕЙ
После изучения главы 8 бакалавр должен:
знать
- • гидродинамическую теорию теплообмена;
- • понятие о динамическом и тепловом пограничных слоях;
уметь
• выполнять математические постановки задач для динамического и теплового пограничных слоев;
владеть
• навыками получения аналитических решений краевых задач для динамического и теплового пограничных слоев на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.
Общие сведения о пограничном слое. Гидродинамическая теория теплообмена
При движении жидкости с большими числами Рейнольдса вблизи поверхности стенки образуются две области.
- 1. Область динамического пограничного слоя, в пределах которой наблюдаются большие поперечные градиенты скорости и значительные касательные напряжения. В этой области влияние сил вязкости проявляется наиболее существенно.
- 2. Область невозмущенного потока (потенциального течения), где поперечные градиенты скорости незначительны и влияние сил вязкости пренебрежимо мало.
Деление потока на пристеночную область пограничного слоя и внешнюю область невозмущенного потока значительно упрощает анализ течения в целом, ввиду того что каждую из этих областей можно рассматривать раздельно. При этом упрощается математическое описание движения применительно к рассматриваемым областям. В невозмущенном потоке инерционные силы существенно превосходят силы вязкостного трения, поэтому для описания движения здесь можно использовать уравнение идеальной жидкости. Математическая модель движения жидкости в пограничном слое также значительно упрощается, и настолько, что полученные приближенные уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы [55, 64, 851.
Если температуры жидкости и стенки неодинаковы, то вблизи поверхности обтекаемого тела образуется тепловой пограничный слой, в пределах которого температура изменяется от температуры стенки до температуры невозмущенного потока. Применительно к тепловому пограничному слою предельный переход выполняется по величине числа Пекле (Ре), которое здесь принимается очень большим. Так как Ре = PrRe, то два условия (числа Re и Ре велики) можно заменить одним — число Прандтля (Pr = v/a) не очень мало [23]. Это условие выполняется для капельных жидкостей (Pr > 1) и для газов (Рг = 0,6-М). И лишь для жидких металлов число Прандтля существенно (на один порядок) меньше единицы.
В связи с тем что соотношение толщин динамического и теплового пограничных слоев определяется числом Прандтля, то для вязких жидкостей толщина динамического слоя больше толщины теплового, для газов они примерно одинаковы, а для жидких металлов тепловой пограничный слой проникает в область невозмущенного динамического потока.
Механизм и интенсивность переноса теплоты зависят от режима течения жидкости внутри пограничного слоя. Если движение ламинарное, то теплота в направлении, перпендикулярном стенке, в основном переносится теплопроводностью. И лишь вблизи внешней границы слоя, где температура по нормали к стенке меняется незначительно, преобладающим оказывается перенос теплоты конвекцией вдоль стенки.
Теория пограничного слоя была предложена Л. Прандтлем в 1904 г., и в настоящее время на ней базируются основные современные представления о процессах переноса теплоты и массы. Теория пограничного слоя связана с гидро- динамической теорией теплообмена, основывающейся на идее
О. Рейнольдса о единстве механизма конвективного переноса тепла и механической энергии в пограничном слое. Такое представление позволяет установить связь между теплоотдачей и гидравлическим сопротивлением трения, что, в свою очередь, позволяет на основе гидродинамических расчетов или экспериментов получать формулы для определения коэффициентов теплоотдачи.
Дифференциальные уравнения Навье —Стокса применительно к ламинарному динамическому пограничному слою с учетом ряда допущений, а также в предположении отсутствия градиента давления в направлении оси х (т.е. dp/dx = 0) приводятся к одному уравнению вида
где vx = vx/v С, = х/1 ц = y/l v — скорость невозмущенного потока; / — характерный размер системы; vx, vy — составляющие скорости по координатным осям; С, ц — безразмерные координаты; х} у — координаты.
Дифференциальное уравнение энергии применительно к тепловому пограничному слою с учетом ряда допущений и в предположении о том, что перенос теплоты теплопроводностью вдоль оси х незначителен, приводится к виду
где 0 = (t - tCp)/(tCT - tcр); tcр — температура невозмущенного потока; tCT — температура поверхности пластины; а — коэффициент температуропроводности жидкости.
Граничные условия для уравнений (8.1) и (8.2) имеют вид
где 8(^) и Д(?,) — толщины соответственно динамического и теплового пограничных слоев.
Из соотношений (8.1)—(8.3) следует, что при о = а (Pr= 1) безразмерные значения г)и 0(^, г) для одной и той же системы будут одинаковы, где и — коэффициент кинематической вязкости. Тогда
Теоретическое исследование двумерного турбулентного потока жидкости, выполненное Прандтлем, показало, что PrT ~ 1. Экспериментальное измерение этой величины подтверждает ее близость к единице. В связи с чем соотношение (8.4) без каких-либо дополнительных условий может применяться и для турбулентных потоков жидкости.
Используя подобие коростных и температурных полей в соответствующих пограничных слоях, можно найти количественную зависимость между трением и теплоотдачей 1111.
Вблизи стенки теплота в жидкости передается теплопроводностью согласно закону Фурье:
где X = аср — коэффициент теплопроводности жидкости; с — теплоемкость; р — плотность.
Напряжение трения у поверхности стенки по закону Ньютона будет
где р = ор — коэффициент динамической вязкости.
Разделив почленно (8.5) на (8.6), получаем соотношение
Дифференцируя соотношение (8.4), получаем соотношение
Сопоставляя (8.7) и (8.8), будем иметь соотношение
Соотношение (8.9) определяет зависимость между теплоотдачей и трением в жидкости. Оно позволяет получить конкретные формулы, связывающие коэффициенты теплоотдачи с коэффициентами сопротивления трения, экспериментальное определение которых значительно проще, чем определение коэффициентов теплоотдачи.
При обтекании плоской поверхности потоком жидкости вблизи стенки происходит образование ламинарного динамического пограничного слоя 8Л (рис. 8.1). В пределах этого слоя в результате действия сил вязкостного трения скорость изменяется от нуля на стенке до скорости невозмущенного потока v на внешней границе пограничного слоя. Течение жидкости в динамическом пограничном слое на небольших расстояниях от кромки пластины является ламинарным. Однако на некотором расстоянии хкр происходит срыв ламинарного пограничного слоя, и течение принимает турбулентный характер. В этом случае в пределах турбулентного пограничного слоя 5Т происходит интенсивное перемешивание жидкости. В то же время вблизи поверхности сохраняется тонкий вязкий подслой 8Л, в пределах которого течение жидкости ламинарное.
Рис. 8.1. Схема ламинарного и турбулентного пограничных слоев
Приближенные формулы для толщин ламинарного и турбулентного пограничных слоев имеют вид [551
где Reх = vx/v — число Рейнольдса, в котором в качестве характерного размера принято расстояние ж.
Переход к турбулентному режиму течения жидкости в пограничном слое определяется критическим числом Рейнольдса, которое при продольном обтекании пластины принимается равным
Впервые теоретический расчет распределения скоростей в ламинарном пограничном слое путем численного интегрирования системы дифференциальных уравнений пограничного слоя был выполнен Г. Блазиусом в 1908 г. В частности, расчеты показали, что отношение скоростей vx/v зависит лишь от одной переменной ц = гул/ v/vx (рис. 8.2). Анализируя эту зависимость, можно заключить, что уже при значении ц ~ 5 vx = v. Это значение П определяет расстояние у = 8(х), принимаемое за толщину ламинарного пограничного слоя. Отсюда получается первая формула в (8.10).
Касательное напряжение трения в ламинарном пограничном слое определяется по формуле
Формула для среднего значения касательного напряжения на отрезке 0 < х < / имеет вид
Рис. 8.2. Распределение скоростей в ламинарном пограничном слое
Рис. 8.3. Распределение скоростей в ламинарном (1) и турбулентном (2) пограничных слоях
Из (8.12) следует, что касательное напряжение в ламинарном пограничном слое уменьшается с увеличением /.
На основе обобщения экспериментальных данных получена формула для определения скоростей в пределах турбулентного пограничного слоя
В пределах толщины вязкого подслоя 5, распределение скорости становится практически линейным.
Кривые изменения безразмерных скоростей от безразмерной координаты у/Ъ{х) для ламинарного и турбулентного пограничных слоев даны на рис. 8.3 [55].
Обобщение экспериментальных данных приводит к формуле для определения касательных напряжений в турбулентном пограничном слое:
Средняя величина касательных напряжений на отрезке 0 < х < / будет равна
Из последней формулы следует, что касательное напряжение при турбулентном пограничном слое уменьшается в меньшей степени, чем при ламинарном.
