Тепловой пограничный слой

В случае если температуры поверхности пластины и набегающего потока различны, то вблизи поверхности формируется тепловой пограничный слой, в пределах которого температура изменяется от значения, равного температуре стенки t_cr (непосредственно на стенке), до температуры невозмущенного потока ?_ср на границе теплового пограничного слоя (рис. 8.4, 8.5). При этом между поверхностью пластины и потоком жидкости (газа) протекает процесс теплообмена. Плотность теплового потока, согласно закону Ньютона—Рихмана, пропорциональна величине температурного напора:

где а — коэффициент теплоотдачи, подлежащий определению.

Найти коэффициент теплоотдачи из формулы (8.18) можно лишь в случае, если будет известно распределение температуры по толщине теплового пограничного слоя в виде аналитической зависимости t = t(x, у).

Тот же самый тепловой поток q передается на границе жидкость —стенка путем теплопроводности:

Объединяя две последние формулы, получаем уравнение конвективной теплоотдачи

Рис. 8.4. Тепловой Д_л(дг) и динамический (ламинарный 5„(дг) и турбулентный 6_T(.v)) пограничные слои

Получение таких аналитических решений рассматривается ниже (см. параграфы 8.5, 8.6).

Процесс формирования теплового пограничного слоя сходен с аналогичным процессом формирования динамического слоя. Соотношение их толщин для ламинарного пограничного слоя зависит лишь от числа Прандтля. Следовательно, зависимость Д_л от скорости v и расстояния х сохраняется такой же, как и для динамического слоя. При Pr = 1 толщины слоев оказываются равными Д_л = 8_Л. Принимаем, что в ламинарном пограничном слое перенос теплоты между слоями жидкости происходит лишь путем теплопроводности. Основное изменение температуры в турбулентном пограничном слое происходит в пределах тонкого вязкого подслоя 8_П, где также принимается, что теплота передается только путем теплопроводности.

Рис. 8.5. Распределение скоростей и температур в ламинарном пограничном слое

Рис. 8.6. Распределение скоростей и температур в турбулентном пограничном слое

Таким образом, при обтекании тела потоком жидкости вблизи стенки образуются динамический и тепловой пограничные слои (см. рис. 8.1 —8.6), которые представляют собой границы соответствующих фронтов возмущения, отделяющие возмущенный поток от невозмущепного.

Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя (уравнения Прандтля) выводятся из уравнений движения (Навье —Стокса) и уравнения сплошности, которые с учетом ряда допущений имеют вид [11, 23, 58]:

где о = р/р — кинематическая вязкость жидкости; v_x, v_y — составляющие скорости по соответствующим координатным осям; х, у — координаты.

Граничные условия для уравнений (8.19) и (8.20) будут иметь вид

где 8(х) — толщина динамического пограничного слоя (см. рис. 8.1); v - скорость невозмущенного потока вдоль оси х.

Граничное условие (8.23) характеризует плавность сопряжения профилей скоростей на внешней границе пограничного слоя. Граничное условие (8.24) получается из дифференциального уравнения (8.19) при у = 0, где v_x = v_y = 0. Следовательно, выполнение условия (8.24) является выполнением уравнения (8.19) в точке у = 0. Соотношение (8.24) является дополнительным граничным условием в задаче (8.19)—(8.24).

Задача (8.19)—(8.24) является нелинейной. Точные аналитические решения ее не получены — получены решения лишь путем численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений (8.19), (8.20) [851.

Найдем приближенное аналитическое решение задачи (8.19)—(8.24). Для этого потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не исходным уравнениям (8.19), (8.20), а осредпенным в пределах толщины динамического слоя, т.е. определим интегралы от данных уравнений но переменной у в пределах от у = 0 до у = б(.г):

Интеграл в правой части соотношения (8.25) с учетом граничного условия (8.23) приводится к виду

Запишем закон Ньютона для касательного напряжения в жидкости, прилегающей к стенке:

где р = ро — динамическая вязкость.

Соотношение (8.28) можно записать в виде

Подставляя (8.29) в (8.27), находим

Выполняя интегрирование по частям во втором члене левой части уравнения (8.25), получаем

Учитывая граничное условие (8.22) и уравнение неразрывности (8.20), последнее соотношение приводится к виду

Подставляя (8.26) в (8.32), находим соотношение

= 0, полу-

Подставляя (8.29), (8.33) в (8.25), с учетом того что (dv_x/dy)_v=5 чаем соотношение

Соотношение (8.34) приводится к известному интегральному уравнению для гидродинамического пограничного слоя, впервые полученному Карманом в 1921 г.:

Учитывая соотношение (8.28), а также тот факт, что интегралы в левой части зависят лишь от одной переменной х_у соотношение (8.35) можно представить в виде

Суть использования интегрального уравнения (8.36) состоит в том, что при получении решения задачи (8.19)—(8.24) требуется выполнение не исходных дифференциальных уравнений в частных производных (8.19),

• (8.20) , а некоторых осредненных по толщине динамического пограничного слоя, которые в итоге сводятся к одному интегральному уравнению вида
• (8.36). Разумеется, подобное осреднение снижает точность решения исходных уравнений (8.19), (8.20). Однако, как будет показано ниже, применение дополнительных граничных условий позволяет найти такое приближенное аналитическое решение, которое в зависимости от числа приближений удовлетворяет уравнениям (8.19), (8.20) практически с заданной степенью точности.

Решение интегрального уравнения (8.36) с граничными условиями

(8.21) —(8.24) примем в виде алгебраического полинома

где «*.(8) — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (8.21)—(8.24).

Подставляя (8.37), ограничиваясь четырьмя членами ряда, в граничные условия (8.21)—(8.24), относительно а^{б) (к = 0,1, 2, 3) получаем систему четырех алгебраических линейных уравнений. Ее решение имеет вид

Подставляя (8.38) в (8.37), получаем уравнение

Подставляя (8.39) в интегральное уравнение (8.36), относительно неизвестной функции б(л') будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение

Интегрируя уравнение (8.40) при начальном условии 6(0) = 0, находим где Re_x = vx/v.

Соотношения (8.39), (8.41) представляют решение задачи (8.19)—(8.24) в первом приближении. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что соотношение (8.39) точно удовлетворяет граничным условиям

(8.21) —(8.24) и интегральному уравнению (8.36). Уравнения (8.19), (8.20), как это следует из (8.25), (8.26), в данном случае удовлетворяются лишь в среднем.

Соотношение (8.41) представим следующим образом:

Из соотношения (8.42) следует, что условие 6(х) х, лежащее в основе всей теории пограничного слоя, выполняется при достаточно больших числах Рейнольдса. Следовательно, теория пограничного слоя является теорией движения реальной жидкости при больших значениях числа Рейнольдса.

Результаты расчетов безразмерной скорости но формуле (8.39) в сравнении с точным решением уравнений (8.19), (8.20) (численное интегрирование) [85] приведены на рис. 8.7 и 8.8. Анализ полученных результатов поз-

1, 2, 3,4 — первое, второе, третье и четвертое приближения; 5 — точное решение [85]

Рис. 8.8. Распределение безразмерных скоростей v_x/v в динамическом пограничном слое:

1 — по формуле (8.39) (первое приближение); 2 — по формуле (8.61) (четвертое приближение) воляет заключить, что в диапазоне безразмерной переменной 0 < г| < 4,0 (Л ⁼ У/Ъ(^х) ⁼ y^v/vx) максимальное расхождение составляет 3%, в диапазоне 4,0 < г| < 6,0 — 5%, а при г| > 6 решение (8.39) практически непригодно для использования. Таким образом, решение в первом приближении наименее точным оказывается вблизи границы динамического пограничного слоя.

Ввиду того что решение задачи о распределении скорости в динамическом пограничном слое вида (8.39) будет использовано далее при решении задачи для теплового пограничного слоя, такое расхождение полученных результатов с точным решением может привести к еще большей неточности в определении распределения температуры внутри теплового слоя. Вопрос точности решения динамической задачи актуален еще и потому, что при решении задачи теплового пограничного слоя исходное уравнение энергии также осредняется и приводится к интегральному уравнению (интегралу теплового баланса). К тому же следует учесть еще и тот факт, что при получении исходных дифференциальных уравнений для динамического пограничного слоя вида (8.19), (8.20) были приняты допущения, позволившие максимально упростить математическую постановку задачи. В связи с чем проблема точности решения исходных уравнений (8.19), (8.20) является весьма актуальной. Важность получения как можно более точных решений этих уравнений состоит еще в том, что на основе этих решений выводятся широко используемые в теории конвективного теплообмена формулы для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений.

Соотношение (8.39) благодаря полиномиальной зависимости скорости от координаты у позволяет построить линии изотах (одинаковых скоростей) в пределах толщины динамического пограничного слоя в координатах ух (рис. 8.9). Задавая постоянные значения безразмерной скорости vjv = v_x, для различных значений координаты х находятся такие г/, которые удовлетворяют соотношению (8.39).

Анализ распределения изотах позволяет заключить, что все они (0 < v_x < 1) возникают на поверхности стенки в точке х = 0, у = 0. Изотаха нулевой ско-

Рис. 8.9. Графики распределения изотах v_x/v = v_x в динамическом пограничном слое. Pr = v/a = 1, v = 5 м/с

рости v_x = 0 совпадает с осью х. Изотаха единичной скорости v_x = 1 совпадает с линией динамического пограничного слоя. Отмечается сгущение изотах вблизи стенки и их разрежение вблизи границы, отделяющей возмущенный поток от невозмущенного.

На основе графиков рис. 8.9 по соотношению W = Ау/Ах определяются скорости перемещения изотах по координате у в зависимости от координаты х (рис. 8.10). Их анализ позволяет сделать вывод о том, что максимальную скорость перемещения имеет единичная изотаха. Скорость перемещения нулевой изотахи равна нулю. Все изотахи возникают на поверхности стенки в точке х = 0, у = 0, имея при этом бесконечно большие начальные скорости. Затем по мере продвижения изотах по координате у в зависимости от координаты х их скорости существенно уменьшаются с последующей стабилизацией изменения по закону, близкому к линейному. Отметим, что наибольший градиент скорости имеют изотахи малого потенциала на относительно небольшом расстоянии по координате х.

Рис. 8.10. Графики изменения скоростей движения изотах W= Ау/Ах но координате у в зависимости от координаты х (v_x = v_x/v), v = 5 м/с

Для повышения точности решения задачи (8.19)—(8.24) необходимо увеличивать степень полинома (8.37). Для определения вновь возникающих при этом неизвестных коэффициентов яД5) будем привлекать дополнительные граничные условия. Принцип их нахождения заключается в следующем. Для получения первого из них уравнение (8.19) применяется в точке у = 0. Именно таким путем было получено дополнительное граничное условие (8.24). Для получения второго дополнительного граничного условия применим уравнение (8.19) в точке у = Ь(х)

Продифференцируем граничное условие (8.22) по переменной х. Так как из (8.22) требуется находить значение v_x(y) в точке у = 5(х), то у является функцией х и, следовательно, и_х(у) будет сложной функцией. Тогда по правилу определения производной от сложной функции будем иметь соотношение

Последнее соотношение с учетом граничного условия (8.23) примет вид

Уравнение (8.43) с учетом (8.23) и (8.44) будет иметь вид

Соотношение (8.45) представляет второе дополнительное граничное условие, из которого следует, что подчинение решения вида (8.37) этому условию равносильно выполнению уравнения (8.19) во всех точках у = 6(ж).

Для получения последующих дополнительных граничных условий необходимо дифференцировать (многократно) уравнение (8.19) по переменной у, а граничные условия (основные и дополнительные) — по переменной х. Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно получить какое угодно количество дополнительных граничных условий, необходимых для получения как можно более точных аналитических решений уравнений (8.19), (8.20). Например, для получения третьего дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (8.19) по переменной у и запишем полученное соотношение для точки у = 5(.г):

Соотношение (8.46) с учетом (8.22), (8.23), (8.45) примет вид

Продифференцируем граничное условие (8.23) по переменной х, учитывая, что v_x — сложная функция,

Последнее соотношение с учетом (8.45) примет вид

Сравнивая (8.47) и (8.48), получаем третье дополнительное граничное условие

По физическому смыслу данное граничное условие означает выполнение на границе динамического пограничного слоя соотношения, полученного после определения первой производной по переменной у от уравнения (8.19).

Для получения четвертого дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (8.19) по переменной у и запишем полученное соотношение для точки у = 0:

Учитывая уравнение неразрывности (8.20) и граничное условие (8.21), соотношение (8.50) приводится к виду

Соотношение (8.51) представляет четвертое дополнительное граничное условие.

Для получения следующих двух дополнительных граничных условий необходимо продифференцировать уравнение (8.19) дважды по переменной у и записать полученные соотношения для точек у = 0 и у = 8(х). Сравнивая полученные соотношения с соотношениями, найденными посредством дифференцирования граничных условий (8.24) и (8.45) по переменной х, находим следующие два дополнительных граничных условия:

Аналогично можно получить какое угодно количество дополнительных граничных условий.

Физический смысл дополнительных граничных условий заключается в выполнении исходного дифференциального уравнения (8.19) и выражений, полученных после определения производных различной степени от него, в точках у = 0 и у = 8(х) (налипни динамического пограничного слоя — фронте гидравлического возмущения). Ввиду того что перемещение фронта гидравлического возмущения охватывает весь диапазон изменения переменной г/, следовательно, для всех значений переменной х, которым соответствуют значения переменной у_} обозначающие линию динамического пограничного слоя, уравнение (8.19) выполняется точно. Таким образом, благодаря использованию дополнительных граничных условий можно существенно повысить точность выполнения исходного дифференциального уравнения, несмотря на то что функция 8(х) определяется из интегрального уравнения

(8.36) , которое в любом приближении выполняется точно. При этом точность выполнения уравнения (8.19) будет зависеть от числа дополнительных граничных условий — числа приближений (числа членов ряда (8.37)).

Для получения решения задачи (8.19)—(8.24) во втором приближении подставим соотношение (8.37), ограничиваясь шестью членами ряда, в основные (8.21)—(8.23) и дополнительные (8.24), (8.45), (8.49) граничные условия. Относительно неизвестных коэффициентов а^(8) (k = 0, 5) будем иметь систему шести алгебраических линейных уравнений. Подставляя найденные из решения этой системы коэффициенты <^(8) в соотношение

(8.37) , получаем соотношение

Подставляя (8.53) в интегральное уравнение (8.36), относительно неизвестной функции 8(х) будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение

Интегрируя уравнение (8.54) при начальном условии 8(0) = 0, получаем соотношение

Соотношения (8.53), (8.55) представляют решение задачи (8.19)—(8.24) во втором приближении. Результаты расчетов по формуле (8.53) в сравнении с первым приближением и точным решением [85] даны на рис. 8.7. Их анализ позволяет заключить, что максимальное расхождение полученного решения с точным составляет около 2%. Важным является тот факт, что произошло значительное повышение точности на участках координаты у, расположенных вблизи границы пограничного слоя (5 < г < 6).

Для получения решения в третьем приближении были использованы дополнительные граничные условия

Граничные условия (8.21)—(8.24), (8.45), (8.49), (8.52), (8.56) позволяют определить уже девять неизвестных коэффициентов яД8) (k = 0, 8) ряда

(8.37). Подставляя (8.37) в перечисленные граничные условия, относительно а^(8) получим систему девяти алгебраических линейных уравнений. С учетом найденных значений коэффициентов яД6) соотношение (8.37) принимает вид

Подставляя (8.57) в интегральное уравнение (8.36), относительно неизвестной функции 6(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида

Разделяя переменные в уравнении (8.58) и интегрируя при начальном условии 8(0) = 0, получаем соотношение

)

Соотношения (8.57), (8.59) представляют решение задачи (8.19)—(8.24) в третьем приближении. Результаты расчетов по формуле (8.57) в сравнении с точным решением [85] даны на рис. 8.7. Их анализ позволяет заключить, что безразмерные скорости, полученные по формуле (8.57), на большей части изменения безразмерной координаты r =yrv/vx(0 < г < 7,0) практически совпадают с точными их значениями, и лишь на участке 4,0 < г| < 5,0 максимальное расхождение составляет около 1%.

Найдем решение задачи (8.19)— (8.24) в четвертом приближении. Дополнительные граничные условия в данном случае имеют вид

Отмстим, что в каждом приближении используются три дополнительных граничных условия; одно условие задается при у = 0, а два других - при у = 8(х). Использование меньшего количества дополнительных граничных условий не приводит к заметному повышению точности решения в данном приближении.

Подставляя (8.37) во все основные и дополнительные граничные условия, относительно неизвестных коэффициентов я/_е(5) (k = 0,11) будем иметь систему двенадцати алгебраических линейных уравнений. После определения а/г соотношение (8.37) примет вид

Подставляя (8.61) в (8.36), относительно 8(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

Отметим, что обыкновенные дифференциальные уравнения относительно 8(х) в любом приближении отличаются друг от друга лишь числовым коэффициентом (см. уравнения (8.40), (8.54), (8.58), (8.62)), что значительно упрощает процесс получения их решений.

Интегрируя уравнение (8.62) при начальном условии 6(0) = 0, получаем соотношение

Соотношения (8.61), (8.63) представляют решение задачи (8.19)—(8.24) в четвертом приближении. Результаты расчетов безразмерных скоростей по формуле (8.61) (табл. 8.1) показывают, что расхождение с точным решением (см. табл. 7.1, с. 131 из [85]) не превышает 0,01%. Сравнение результатов расчетов безразмерных скоростей в первом и четвертом приближениях дано на рис. 8.8.

Таблица 8.1

По известной толщине пограничного слоя можно найти формулу для касательного напряжения трения на поверхности пластины и, таким образом, оценить сопротивление, оказываемое твердой поверхностью движу-

щейся жидкости при ламинарном режиме. Подставляя (8.61) в формулу закона Ньютона для касательного напряжения (8.6), получаем соотношение

После подстановки в последнее соотношение формулы для толщины динамического пограничного слоя (8.63) получаем

Отличие коэффициента 0,331 от точного его значения 0,332 [85] составляет 0,1%. Отметим, что в первом приближении этот коэффициент равен 0,323 (отличие от точного около 3%).

Авторы: Кудинов Василий, Карташов Эдуард, Стефанюк Екатерина