Аналитические решения уравнений теплового пограничного слоя при граничных условиях первого рода на стенке

Теплообмен в тепловом пограничном слое (см. рис. 8.4, 8.5) описывается уравнением энергии, известным под названием уравнения Полъгаузена [85]:

где а — коэффициент температуропроводности жидкости.

Граничные условия для уравнения (8.64) определяются соотношениями

где соотношения (8.66), (8.67) представляют условия сопряжения прогретой и непрогретой зон. Условие (8.66) означает, что температура на границе теплового пограничного слоя (на границе фронта температурного возмущения) равна температуре невозмущенного потока Гср. Согласно условию (8.67), тепловой поток не распространяется за пределы пограничного слоя.

Для получения еще одного граничного условия запишем уравнение (8.64) применительно к точке у = 0. Так как в этом случае г'Л(0) = ?’,/()) = 0, то получим дополнительное граничное условие вида (по сути это есть первое дополнительное граничное условие)

Потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не уравнению (8.64), а некоторому осреднснному, т.е. уравнению (8.64), проинтегрированному по переменной у в пределах толщины теплового пограничного слоя Д(х):

Определяя интегралы в (8.69), получаем интегральное уравнение (интеграл теплового баланса)[23]

Уравнение (8.70) можно также получить из рассмотрения балансовых соотношений по тепловым потокам в пределах теплового пограничного слоя. Данное уравнение таким образом впервые получено Г. Н. Кружили- ным в 1936 г. [11].

Введем избыточную температуру по соотношению T=t- tCT. Тогда Тср = = tcр - tCT. Интегральное уравнение (8.70) и граничные условия (8.65)— (8.68) для избыточной температуры примут вид

Сопоставляя уравнения (8.19) и (8.64), можно убедиться, что при о = а (Рг= о = 1) по форме записи эти уравнения полностью совпадают. Если привести математические постановки задач к безразмерному виду (см. параграф 8.1), то полностью идентичными оказываются и граничные условия. Это означает, что безразмерные решения этих двух задач будут одинаковыми, а размерные распределения скоростей и температур вдоль оси х взаимно подобны. Следовательно, отношение теплового и динамического слоев не зависит от координаты х. Это условие будет использовано ниже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений относительно толщины теплового пограничного слоя А(х).

Возникновение пограничных слоев (динамического и теплового) обусловлено переносом импульса и теплоты по направлению поперечной координаты у. Следовательно, толщина каждого из пограничных слоев определяется интенсивностью соответствующего процесса переноса. Так как характеристикой интенсивности переноса импульса является кинематический коэффициент вязкости, а теплоты — коэффициент температуропроводности, то соотношение толщин этих двух пограничных слоев должно зависеть от соотношения коэффициентов переноса, т.е. от величины числа Рг= о/а. Чем больше величина критерия Прандгля, тем более интенсивным является поперечный перенос импульса но сравнению с переносом теплоты и, следовательно, тем больше в этом случае будет толщина динамического слоя по сравнению с тепловым.

Ввиду того что толщины динамического и теплового пограничных слоев должны подчиняться условию А(х) < 5(х), величина критерия Прандтля должна быть Pr < 1. Последнее условие приближенно выполняется для газов (Рг ~ 0,75) и для неэлектроироводных жидкостей (Pr > 1) и не выполняется для жидких металлов ввиду высокого значения коэффициента температуропроводности (10~3 < Pr< 10~2).

где «ДД) — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (8.72)—(8.75); Д(х) — толщина теплового пограничного слоя.

Ввиду подобия гидравлической и тепловой задач по аналогии с (8.39) для функции Т(х, у) можно записать формулу

Подставляя (8.77) и (8.39) в интегральное уравнение (8.71), получаем уравнение

Дифференцируя (8.77) по переменной у, применительно к у = 0 будем иметь

Если принять Д < 8, то вторым членом в левой части уравнения (8.78) можно пренебречь. Тогда соотношение (8.78) с учетом (8.79) примет вид

где р = Д/8.

Ввиду независимости величины р от координаты х d$/dx = 0. Отсюда получаем

Подставляя (8.41) в (8.81), находим

Соотношения (8.77), (8.82) определяют решение задачи (8.64)—(8.67) в первом приближении. Результаты расчетов относительных избыточных температур 0= Т/ТС[) = (t - tcl)/(tcp - tCT) по формуле (8.77) в сравнении с точным решением [ 851 представлены на рис. 8.11. Их анализ приводит к заключению о том, что расхождение полученных по формуле (8.77) значений температур от точных их значений находится в пределах 5—11%. Причем максимальное расхождение наблюдается вблизи верхней границы теплового пограничного слоя.

Для повышения точности решения введем дополнительные граничные условия. Метод их получения аналогичен рассмотренному выше. И, в част-

Распределение безразмерных температур 0 = Т/Т в зависимости от безразмерной координаты t| = y^Jv/vx

Рис. 8.11. Распределение безразмерных температур 0 = Т/Тср в зависимости от безразмерной координаты t| = y^Jv/vx:

1,2, 3 — соответственно первое, второе и третье приближения; 4 — точное решение [851

пости, применяя уравнение (8.64) к точке у = А(х)> с учетом (8.67) получаем уравнение

Дифференцируя (8.66) по переменной х и сравнивая полученное соотношение с (8.83), находим второе дополнительное граничное условие (первым из них является соотношение (8.68)) вида

Для получения третьего дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (8.64) по переменной у и применим полученное соотношение для точки у = Д(х):

Дифференцируя (8.67) по переменной х и сравнивая полученное соотношение с (8.86), находим третье дополнительное граничное условие

Подставляя (8.76), ограничиваясь шестью членами ряда, в граничные условия (8.72)—(8.75), (8.84), (8.87), относительно неизвестных коэффициентов cik (k = 0, 5) будем иметь систему шести алгебраических линейных уравнений (отметим, что все дополнительные граничные условия для функций Т и t идентичны). Подставляя найденные из решения этой системы значения коэффициентов а/, в (8.76), получаем соотношение

Подставляя (8.88) и (8.53) в интегральное уравнение (8.71), после определения интегралов относительно неизвестной функции А(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

Ввиду того что Д < 5, вторым, третьим и четвертым членами в левой части соотношения (8.89) можно пренебречь. Тогда уравнение (8.89) примет вид

Так как величина р = Д/5 не зависит от х, то уравнение (8.90) приводится к виду

Подставляя (8.55) в (8.91), находим соотношение

Соотношения (8.88), (8.92) представляют решение задачи (8.64)—(8.67) во втором приближении. Результаты расчетов безразмерных температур 0 = 7уГср по формуле (8.88) даны на рис. 8.11. Их анализ позволяет заключить, что уточнение решения во втором приближении по сравнению с первым составляет около 3% для 0,5 < г < 3,0, а вблизи границы теплового пограничного слоя (г| > 5,0) полученное во втором приближении решение практически совпадает с точным.

Соотношение (8.88) точно удовлетворяет всем основным (8.65)—(8.67) и дополнительным (8.75), (8.84), (8.87) граничным условиям, а также интегральному уравнению (8.71). По сравнению с первым приближением в данном случае наблюдается более точное выполнение уравнения (8.64) ввиду выполнения дополнительных граничных условий, согласно которым уравнение (8.64) точно выполняется в точках у = 0 и у = Д(х), т.е. на границе фронта температурного возмущения. Так как фронт температурного возмущения изменяется в диапазоне всего рассматриваемого участка координаты г/, то, следовательно, уточнение выполнения уравнения (8.64) происходит внутри всей области изменения искомой функции.

Найдем дополнительные граничные условия, необходимые для получения решения задачи в третьем приближении. Для этого продиффереицируем уравнение (8.64) но переменной у и запишем полученное соотношение для точки у = 0:

|

Продифференцируем граничное условие (8.65) по переменным х и у.

Соотношение (8.93) с учетом (8.21) и (8.94) приводится к виду

Соотношение (8.95) представляет собой первое дополнительное граничное условие третьего приближения.

Аналогично путем двух- и трехкратного дифференцирования уравнения (8.64) но переменной у и сравнения полученных соотношений с основными и дополнительными граничными условиями и производными от них по перемен- ным х и у, применительно к точке у = Л(„т) получаем второе и третье дополнительные граничные условия

Граничные условия (8.72)—(8.75), (8.84), (8.87), (8.95), (8.96) позволяют найти уже девять неизвестных коэффициентов о/.(А) (k = 0, 8) ряда (8.76). Подставляя (8.76) в перечисленные граничные условия, относительно неизвестных коэффициентов а*(Д) получим систему девяти алгебраических линейных уравнений. Подставляя найденные из решений этой системы значения коэффициентов А) в (8.76), находим соотношение

Отметим, что в третьем приближении, как и во всех предыдущих, формулы для безразмерных температур и скоростей полностью совпадают, что можно объяснить полной аналогией интегральных уравнений (8.36) и (8.71), а также всех основных и дополнительных граничных условий.

Подставляя (8.97) в интегральное уравнение (8.71), относительно неизвестной функции Д(х) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

Так как А < 8, то всеми членами, кроме первого, в левой части уравнения (8.98) можно пренебречь. Тогда это уравнение примет вид

399

Учитывая, что |3 = Д/8 не зависит от х, находим соотношение

Подставляя в (8.100) соотношение (8.59), находим соотношение

Соотношения (8.97), (8.101) представляют решение задачи (8.64)—

(8.67) в третьем приближении. Результаты расчетов по формуле (8.97) в сравнении с точным решением [85] даны на рис. 8.11. Их анализ позволяет заключить, что отклонение полученных по формуле (8.97) безразмерных температур от их точных значений не превышает 2%.

Дополнительные граничные условия, необходимые для получения решения задачи (8.64)—(8.67) в четвертом приближении, по форме аналогичны условиям (8.60). После определения неизвестных коэффициентов а*(Д) = 0,11) соотношение (8.76) по аналогии с (8.61) примет вид

Обыкновенное дифференциальное уравнение относительно Д(х) в данном случае будет иметь вид

Подставляя (8.63) в (8.103), находим

Соотношения (8.102), (8.104) представляют решение задачи (8.64)—

(8.67) в четвертом приближении. Результаты расчетов по формуле (8.102) показывают, что расхождение с точным решением не превышает 0,01%. Сравнение результатов расчетов безразмерных температур в первом и четвертом приближениях дано на рис. 8.12.

Сравнение результатов расчетов по формулам (8.102) и (8.61) при Рг = 1 позволяет заключить, что их расхождение не превышает 0,01%. Отсюда следует, что безразмерные значения скоростей и температур, согласно гидродинамической теории теплообмена (см. параграф 8.1), практически совпадают.

На рис. 8.13 даны результаты расчетов по формуле (8.102) для различных значений критерия Прандтля (Рг = и = 0,6; 1,0; 3,0; 15,0) в сравнении с точным решением [85]. Как видно из рисунка, для Рг = 1,0; 3,0; 15,0 полученные по формуле (8.102) значения безразмерных температур 0 = Т/Тср =

Изменение температур 0 = Т/Т в пределах

Рис. 8.12. Изменение температур 0 = Т/Тср в пределах

теплового пограничного слоя:

1 — по формуле (8.77); 2 — но формуле (8.102)

Распределение безразмерных температур 0 = Т/Т в зависимости от безразмерной координаты ц = у Уv/ux для различных значений критерия Прандтля (Рг = о/й)

Рис. 8.18. Распределение безразмерных температур 0 = Т/Тср в зависимости от безразмерной координаты ц = у Уv/ux для различных значений критерия Прандтля (Рг = о/й):

1 — по формуле (8.102); 2 — точное решение [85]

= (t - tcr)/(tcр - tCT) практически совпадают с точными их значениями. Расхождение результатов, составляющее около 3%, наблюдается для Рг = 0,6, т.е. для газов.

На основе полученных выше зависимостей для скорости и температуры в пределах соответствующих пограничных слоев, используя дифференциальное уравнение конвективной теплоотдачи

можно определить коэффициент теплоотдачи

Если использовать решение в первом приближении (соотношение (8.77)), то для коэффициента теплоотдачи получим формулу

Для решения (8.102) в четвертом приближении будем иметь формулу

Подставляя (8.82) в (8.107), находим

где Nux = ах/X — критерий Нуссельта; X — коэффициент теплопроводности жидкости.

Подставляя (8.104) в (8.108), будем иметь уравнение

Отсюда следует, что расхождение коэффициентов в критериальных уравнениях теплоотдачи в первом и четвертом приближениях составляет 1,98%.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >