Аналитические решения уравнений теплового пограничного слоя при граничных условиях третьего рода на стенке

Выше (см. параграф 8.5) было получено приближенное аналитическое решение задачи теплообмена применительно к тепловому пограничному слою при граничных условиях первого рода на стенке. Однако существенный интерес представляют задачи теплообмена для случаев, когда на стенке (со стороны окружающей среды) задаются граничные условия третьего рода (теплопроводностью стенки пренебрегается). Математическая постановка задачи для динамического пограничного слоя в этом случае не изменяется и имеет вид (8.19)—(8.24), а для теплового слоя будет (рис. 8.14)

Схема теплового пограничного слоя при граничных условиях третьего рода на стенке

Рис. 8.14. Схема теплового пограничного слоя при граничных условиях третьего рода на стенке

где а — коэффициент теплоотдачи; X — коэффициент теплопроводности жидкости; ?ср — температура невозмущенного потока; ?ср1 — температура среды с противоположной поверхности стенки = 0) (теплопроводность стенки принимается бесконечной, а ее толщиной пренебрегаем); Л(.г) — толщина теплового пограничного слоя.

Ввиду нелинейности задачи (8.111)—(8.115) ее точное аналитическое решение не получено. Известно лишь решение, найденное путем численного интегрирования уравнения (8.111) [90].

Осредняя уравнение (8.111) в пределах толщины теплового пограничного слоя, получаем интегральное уравнение

Граничные условия для интегрального уравнения (8.116) остаются в виде (8.112)—(8.115).

Применительно к интегральному уравнению (8.116) с граничными условиями (8.112)—(8.115) с целью приведения граничного условия (8.112) к однородному введем избыточную температуру по формуле Т = t — ?ср1. Тогда Гср = ?ср - ?<.р]. Уравнение (8.116) и граничные условия (8.112)—

(8.115) примут вид

Решение задачи (8.117)—(8.121) принимается в виде полинома

После определения неизвестных а^(А) = 0, 3) из граничных условий (8.118)—(8.121) соотношение (8.122) будет иметь вид

где А = ЗА, + 2аД(х).

Подставляя (8.39) и (8.123) в интегральное уравнение (8.117), относительно неизвестной функции А(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида

Так как Д < б, то первым членом в левой части уравнения (8.124) можно пренебречь. Подставляя (8.41) в (8.124), а также учитывая введенное выше допущение о том, что р = А(х)/8(х) = const, получаем соотношение для толщины теплового пограничного слоя

где А = 0,053879310344; А2 = 0,121228448275; А3 = 55,68Л + + 74,24аД; А4 = = (lll,36a3AJ? + 74,24а4R2A/R)Z, R = ; R{ =i(ux/v)3;R2 = vx/v.

Соотношение (8.125) для любых конкретных исходных данных позволяет найти Д(х).

Соотношения (8.123), (8.125) представляют решение задачи (8.111)— (8.115) в первом приближении. Решение (8.123) в данном случае точно удовлетворяет интегральному уравнению (8.117), граничным условиям (8.112)—(8.115) и приближенно (в среднем) уравнению энергии (8.111). Результаты расчетов по формуле (8.123) в сравнении с точным решением [90] (численное интегрирование уравнения (8.111)) представлены на рис. 8.15. Их анализ позволяет заключить, что максимальное расхождение результатов не превышает 7%.

Если положить a —> оо, то соотношение (8.112) приводится к граничному условию первого рода t(x, 0) = ?cpi = const. Результаты расчетов по формуле (8.123) для этого случая совпадают с результатами, получаемыми по формуле (8.77).

Для повышения точности найдем решение задачи во втором приближении с использованием дополнительных граничных условий, которых должно быть не менее трех. Первое дополнительное граничное условие вида (8.121) уже было использовано в первом приближении. Его физический смысл — выполнение уравнения (8.111) в точке у = 0. Так как в этой точке vx = vy = 0, то уравнение (8.111) приводится к соотношению (8.121). Принцип получения следующих дополнительных граничных условий аналогичен тому, который был применен выше при решении задач для динамического и теплового пограничных слоев. И, в частности, следующие два дополнительных граничных условия имеют вид Распределение температур 0 = Т/Т от координаты р = yyv/ox

Рис. 8.15. Распределение температур 0 = Т/Тср от координаты р = yyv/ox:

  • 1,2, 3, 4 — соответственно первое, второе, третье, четвертое приближения;
  • 5 — точное решение [90]. Bt = a^vx/v /Х Рг = 0,72

Соотношение (8.122) после определения неизвестных коэффициентов «^(Д) (k = 0,5) из граничных условий (8.118)—(8.121), (8.126) во втором приближении принимает вид

где В = 5Х + 2аД.

Подставляя (8.53) и (8.127) в интегральное уравнение (8.117), относительно неизвестной функции Д(.г) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

Так как по условию задачи Д < 5, то первым, вторым и третьим членами левой части уравнения (8.128) можно пренебречь. С учетом этого допущения, а также того, что р = Д/8 = const, после подстановки в (8.128) соотношения для толщины динамического пограничного слоя (8.55) получаем соотношение

где С = 0,0355335721189; С2 = 0,222084825743; С3 = 140,7 т + 112,569аД; С4 = (281,424сх3ХД + 112,569а4 Д2Д/Я)2.

Соотношения (8.127), (8.129) представляют решение задачи (8.111)—

(8.115) во втором приближении. Результаты расчетов безразмерных температур по формуле (8.127) в сравнении с точным решением [90] даны на рис. 8.15. Из их анализа следует, что величина расхождения с точным решением уменьшилась с 7% (в первом приближении) до 4% (во втором).

В третьем приближении используются следующие дополнительные граничные условия (совместно с основными (8.118)—(8.121) и дополнительными условиями (8.126) второго приближения)

Формула для определения температуры в третьем приближении будет

где D = 81 + ЗаД.

Соотношение для определения Д(.г) имеет вид

)

где ?>! - 0,021386440141; = 0,152081352117; D3 = 841,6541 + 631,2411аД;

Ai = (1683,3096а31А + 631,2411а"1 R2A/R)2.

Соотношения (8.131) и (8.132) представляют решение задачи (8.111)—

(8.115) в третьем приближении. Результаты расчетов но формуле (8.131) в сравнении с точным решением [90] даны на рис. 8.15, из которого следует, что расхождение температур не превышает 1,5%.

Дополнительные граничные условия четвертого приближения по форме аналогичны условиям (8.60). Формула для безразмерной температуры в данном случае принимает вид

где Я = 111 + 41Д;

Я, = 0,015138230207; Я2 = 0,114482865946; Я3 = 2906,54481 + 2113,85344аД; Я4 = (5813,09696а31Я + 2113,85344а4Я2Д/А>)2.

Результаты расчетов безразмерных температур по формуле (8.133) (см. рис. 8.15 и табл. 8.2) показывают, что расхождение с точным решением (см. табл. 1, с. 1066 из [90]) не превышает 0,01% (для табл. 8.2 г) = 0; Рг = 0,72).

Таблица 8.2

Bi

0,05

0,1

0,4

0,8

5

10

20

0 по формуле (8.133)

0,1395

0,2449

0,5648

0,7219

0,9419

0,9701

0,9848

0 — точное решение

0,1447

0,2528

0,5750

0,7302

0,9441

0,9713

0,9854

Если в соотношениях (8.123), (8.127), (8.131) и (8.133) положить a °°, то получаемые решения приводятся к решениям при граничных условиях первого рода, приведенным в параграфе 8.5.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >