Пример построения факторно-регрессионной модели переменных удельных капиталовложений в сооружение электрической станции

Построим факторно-регрессионную модель переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции. Выборочная совокупность переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции К"дР (млн. руб./МВт) по 20 наблюдениям представлена в табл. 26 (столбец 2).

Исходные данные и результаты моделирования переменных удельных капиталовложений

Таблица 26

Номер наблюдения

Выборочные Ky'p, тыс. руб./МВг

Хц, км

*12.

чел/км

*13.

°С

Нормированные

параметры

Значения фактора по наблюдению /г1

Вычисленные К"дР, тыс. руб./МВт

О- *

V с*

? -г- 20 = 2 X

ы ю

  • 5 >?»
  • 0 Си
  • 1 « О н

Zil

Zi2

Zi3

1

48

98

20

13

1,89

-1,79

1,59

1,86

52,41

4,41

2

55

87

90

14,5

0,96

-1,06

1,81

1,36

57,86

2,86

3

57

95

70

10

1,64

-1,27

1,13

1,42

57,12

0,12

4

59

84

100

12,5

0,71

-0,95

1,51

1,12

60,4

1,4

5

67

81

130

6

0,45

-0,63

0,52

0,57

66,37

-0,63

6

64

86

120

7

0,88

-0,74

0,67

0,81

63,78

-0,22

7

65

82

130

7.5

0,54

-0,63

0,75

0,68

65,14

0,14

8

72

83

180

2

0.62

-0,11

-0.08

0,23

70,05

-1,95

9

72

79

190

4

0,28

0

0,22

0,18

70,57

-1,43

10

74

72

170

0,5

-0,31

-0,21

-0.31

-0,15

74,09

0,09

11

79

76

150

-2,5

0,03

-0,42

-0,77

-0,12

73,76

-5,24

12

73

77

200

3

0,11

0,11

0,07

0,03

72,2

-0,8

13

85

69

180

1

-0,56

-0,11

-0,24

-0,25

75,16

-9,84

14

76

65

280

-3

-0,90

0,95

-0,84

-0,95

82,76

6,76

15

81

75

220

-1

-0,05

0,32

-0,54

-0,32

75,98

-5,02

16

86

61

250

-6

-1,24

0,63

-0,30

-1,12

84,62

1,38

17

75

66

370

-2

-0,82

1,90

-0,69

-1,20

85,4

10,4

18

90

55

290

-8

-1,75

1,06

-1,60

-1,56

89,32

-0,68

19

84

62

310

-4

-1,16

1,27

-0,99

-1,21

85,54

1,51

20

88

60

350

-3,5

-1,32

1,69

-0,92

-1,39

87,45

-0,55

"(*/)

72,5

75.65

190

2,55

0

0

0

-

-

-

Six,)

11,79

11,82

94,81

6,59

1

1

1

-

-

-

Матрица выборочной совокупности именованных параметров приведена в табл. 26 (столбцы 3-4), здесь: Хг - удалённость от железных дорог площадки электрической станции, км; Х2 - обеспеченность региона трудовыми ресурсами, чел./км2; Х3 - среднегодовая температура окружающей среды, °С.

Для построения факторно-регрессионной модели переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции необходимо выявить связи между независимыми параметрами и моделируемым показателем. Для этого необходимо построить матрицу выборочных коэффициентов парной корреляции параметров между собой и параметров моделируемого показателя. Расчет матрицы выборочных коэффициентов парной корреляции включает определение математических ожиданий M(xj) и среднеквадратичных отклонений S(xj) параметров и моделируемого показателя:

На основе математических ожиданий М(х;) и среднеквадратичных отклонений S(x;) параметров и моделируемого показателя выполняется нормировка выборочной совокупности параметров

Значения математических ожиданий М(х;) и среднеквадратичных отклонений S(xj) именованных и нормированных параметров и моделируемого показателя приведены в табл. 26 (последняя и предпоследняя строки соответственно).

Коэффициенты парной корреляции Гц между параметрами определены по соотношению

Размерность матрицы коэффициентов парной корреляции соответствует числу параметров п = 3, а матрица имеет вид

Для оценки матрицы нагрузок на факторы необходимо найти собственные значения корреляционной матрицы и соответствующие им собственные векторы. С этой целью составляется характеристическое уравнение корреляционной матрицы

отсюда Л3 — ЗА2 + 0,8762А — 0,064 = 0.

Корни характеристического уравнения могут быть определены любым известным методом, например, итерационным.

Вклад фак торов в дисперсию параметров

Рис. 29. Вклад фак торов в дисперсию параметров

Теперь можно записать корни характеристического уравнения в порядке убывания: Аг = 2,682; А2 = 0,195;

А3 = 0,123. Как указано выше, сумма корней характеристического уравнения равна числу параметров п = 3, Ах 4- А2 +

+ А3 = 2,682 + 0,195 + 0,123 = 3.

Для оценки учета ортогональными факторами дисперсии параметров и определения достаточного числа выделяемых факторов необходимо найти долю суммарной дисперсии параметров ОД%), учитываемую каждым фактором,

Dj(%) = (Aj/?A) • 100%. Таким образом, первый фактор учитывает D = (Ai/2 А) • 100 % = 89,4 % дисперсии; второй D2 = (А2/? А) • 100 % = 6,5 %; третий D3 = (А3/? А) • 100 % = 4,1 %. Всеми тремя факторами учитывается 100% суммарной дисперсии параметров. Иллюстрация учета факторами суммарной дисперсии параметров приведена на рис. 29.

Как видно из рисунка, первый фактор учитывает почти 90 % дисперсии параметров, поэтому можно предположить, что для описания выборочной совокупности трех параметров достаточно выделения одного фактора.

Для вычисления собственных векторов корреляционной матрицы необходимо составить и решить систему

Проекции первого собственного вектора аг, соответствующего = 2,682, определяются при решении следующей системы уравнений:

Или в координатном виде:

В приведенной системе третье уравнение является линейной комбинацией двух первых, такая система имеет множество решений. Для получения одного из решений такой системы достаточно зафиксировать одну из проекций собственного вектора и понизить размерность системы уравнений. Удобно принять а = 1, тогда значения остальных проекций: а21 = —0,978, а31 = 0,98.

Коэффициенты матрицы нагрузок на факторы определяются как

Подставив в приведенное выражение значения первого собственного числа и значения проекций первого собственного вектора, можно определить коэффициенты первого столбца матрицы нагрузок:

Если для описания совокупности выборочных параметров выделяется только один фактор, то матрица нагрузок усекается до одного столбца и тогда редуцированная матрица нагрузок имеет вид:

Матрица вычисленных коэффициентов корреляции RBbl4 определяется по редуцированной матрице нагрузок на факторы:

Теперь необходимо оценить значимость остаточной матрицы коэффициентов корреляции R0CT = RBbl6 — RBbI4 и убедиться в достаточном количестве выделенных факторов.

Далее следует приступить к оценке значений факторов по всем наблюдениям N = 20. С этой целью требуется найти матрицу связи W на основе обратной матрицы вычисленных коэффициентов корреляции RBbl4:

Для рассматриваемого примера матрица связи представляет собой матрицу-строку:

Теперь можно определить значения факторов по наблюдениям F, представляющим собой матрицу-столбец:

Значения факторов по наблюдениям приведены в табл. 26 (9 столбец).

Далее с использованием обычного регрессионного анализа можно получить факторно-регрессионную модель переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции в линейном виде:

Учитывая, что при определении прогнозных значений факторов не выполняется уточнение матрицы связи W, модель переменных удельных капиталовложений можно записать в виде у = Ь0 + bxfi.

Вектор точечных оценок коэффициентов модели определяются по соотношению

Информационная матрица имеет вид:

Тогда вектор коэффициентов модели:

Построение доверительных интервалов коэффициентов модели выполняется с использованием стандартного значения распределения Стьюдента:

Теперь модель может быть записана с учетом точечных и интервальных оценок

Вычисленные по модели значения переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции и их отклонения от выборочных значений приведены в табл. 26 (столбцы 10, 11).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >