Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии. Выделяют три вида дисперсии: общую, внутригрупповую и межгрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию, и вычисляется по формуле

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Ее определяют следующим образом:

где л?; — среднее значение признака в г'-й группе; п. — число единиц в каждой выделенной группе.

Среднюю из внутригрупповых дисперсий находят по формуле

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Ее рассчитывают по следующей формуле:

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение называется правилом сложения дисперсий. Его используют, в частности, при расчете ошибок выборочного наблюдения и при измерении тесноты связи между признаками. Теоретический и практический интерес этого правила заключается, во-первых, в том, что, зная две величины, на основе приведенного равенства всегда можно определить третью величину. Второе значение этого правила состоит в том, что, зная общую дисперсию и дисперсию групповых средних, мы имеем право (если группировка произведена правильно) судить о силе влияния группировочного признака па вариацию признака изучаемого, используя для этого эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирический коэффициент детерминации представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии и рассчитывается по формуле

Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение представляет собой корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации и вычисляется следующим образом:

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если г| = 0, то признак не оказывает влияния на результативный. Если г) = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

Определим групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую и общую дисперсии по данным табл. 6.3.

Для расчета групповых дисперсий вычислим средние по каждой группе, млн руб. (графы 1 и 5):

Промежуточные расчеты дисперсий по группам представлены в графах 2, 3, 6 и 7 табл. 6.3. Подставив полученные значения в формулу, получим:

Таблица 6.3. Товарооборот торговых предприятий в двух районах

Товарооборот торговых предприятий в двух районах

Средняя из групповых дисперсий

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю, млн руб., как среднюю взвешенную из групповых средних:

Теперь определим межгрупповую дисперсию:

Таким образом, можно рассчитать общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

Проверим полученный результат, вычислив общую дисперсию обычным способом:

На основании правила сложения дисперсий определим эмпирическое корреляционное отношение по формуле (6.4):

Величина 0,86 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаками, т.е. месторасположение торгового предприятия оказывает существенное влияние на величину его товарооборота.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >