Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Менеджмент arrow Управление рисками, системный анализ и моделирование

Контроль степени удовлетворения требований к вероятности возможных происшествий на головном объекте

Рассматриваемый здесь способ совершенствования статистического контроля вероятности Q(t) возникновения техногенных происшествий на вновь созданных ОТУ головного ОПО основывается на следующих двух исходных предпосылках:

  • а) известны оценки данной вероятности, полученные с помощью не только эмпирических данных о зарегистрированных там происшествиях, но и моделей второго раздела настоящей книги;
  • б) подобная априорная и апостериорная информация обладает примерно одинаковой точностью.

Проиллюстрируем возможности излагаемого ниже способа, используя байесовскую статистику и увеличивая выборку учитываемых случайных событий за счет включения в их число х как происшествий, количество которых на головном объекте обычно невелико, так и предпосылок к ним.

Представление происшествий и предпосылок в виде совокупности случайных событий (см. параграф 3.2) использовано здесь для определения не только параметра их потока в единицу времени или за одно испытание (n = 1) какого-либо ОТУ из общего количества N последних, но и вероятности возникновения на головном

ОПО конкретного числах этих неблагоприятных событий. При известной длительности т работ и зарегистрированном при этом значении х оценки искомых параметра и вероятности будут равны

(18.7)

Анализ последних выражений показывает, что статистические оценки и определяются длительностью времени и числом техногенных происшествий и предпосылок к ним. Следовательно, задача отыскания доверительных пределов для вероятности их возникновения может быть сведена к определению верхней и нижней доверительных границ для оценок параметра или однозначно связанной с ней величины . Это означает, что при известной доверительной вероятности у двусторонние доверительные границы для случайной оценки определяются следующим соотношением:

(18.8)

где – нижняя и верхняя доверительные границы для заре

гистрированного на головном ОПО количества происшествий и предпосылок к ним; – функция распределения оценок случайного параметра их потока, величина которого найдена по левой части математических соотношений (18.7).

Так как для сужения доверительного интервала здесь решено использовать априорную информацию, то при определении функции апостериорного распределения > целесообразно применить формулу Байеса для непрерывных случайных величин, которая в данном случае будет иметь следующий вид:

(18.9)

где – функция правдоподобия оценок , равная условной вероятности появления ровно происшествий и предпосылок к ним за время т, при условии что оценка параметра их потока совпадает с его истинным значением; – априорная плотность вероятности истинного параметра со потока происшествий и предпосылок к ним.

Для аналитического выражения действительно неизвестной плотности , необходимой для оценки искомых доверительных границ , целесообразно воспользоваться результатами моделирования, ранее проведенного разработчиком головного объекта с целью оценки параметра потока возможных на нем происшествий и предпосылок к ним. Такое решение представляется более конструктивным в сравнении со стандартными правилами интервального оценивания числовых характеристик пуассоновского распределения [25], которые рассчитаны на отсутствие какой-либо информации о виде зависимости и считают ее равномерно распределенной на всей оси действительных чисел случайной величины X.

Принятое выше предположение о примерно одинаковой точности априорного прогноза вероятности Q(x) и ее статистической оценки стандартными методами при малом числе позволяет понизить степень неопределенности о виде плотности за счет объединения подобной однородной информации, а затем использовать эти уточненные сведения в формуле (18.9). Для этого аппроксимируем вначале имеющуюся там функцию правдоподобия бета-распределенной случайной величиной с параметрами масштаба s=1 и формы , а априорную плотность – гамма-распределением со следующими параметрами:

(18.10)

где – оценки параметра потока рассматриваемых случайных событий и дисперсия этой оценки, определяемые по методике прогноза вероятности появления техногенных происшествий и предпосылок к ним (см. параграф 10.4) в предположении о равенстве оцениваемого на головном ОПО параметра вероятности

После подстановки этих аппроксимаций в выражение (18.9) и соответствующих преобразований можно получить следующее выражение [43]:

(18.11)

где – гамма-функция со значением, численно равным факториалу суммы

Выражение (18.11) также представляет собой гамма-распределенную случайную величину с параметрами и , которая в свою очередь может быть аппроксимирована эквивалентным ей распределением типа -квадрат со степенью свободы . При этом оценка параметра потока происшествий и предпосылок к ним, входящая в последнее выражение, определяется с помощью формулы

(18.12)

где X2 – значение случайной величины, определяемой по таблицам распределения х-квадрат для конкретного числа степеней свободы k.

Анализ выражений (18.10) – (18.12) на предмет возможности их последующего упрощения показал, что значение входящего в функцию параметра с однозначно определяется оценками величина которых зависит от точности предварительного (модельного) прогноза вероятности появления происшествий на ОПО. Для реальных на практике соотношений между – об их значениях можно судить и по примеру расчета ®пр= Q и D(Q) по формулам (11.22) и (11.33) – обычно соблюдаются следующие условия:

(18.13)

Поэтому, приняв можно существенно упростить структуру формулы (18.10):

(18.14)

Изучение таблицы распределения -квадрат позволяет также упростить и выражение (18.12), так как для малых на головном ОПО числах значение имеет тот же порядок, что и величина . Поэтому при реальной длительности времени т наблюдения за головным ОПО значение разности будет пренебрежимо мало в сравнении с величиной . Отсюда можно утверждать о примерном равенстве между , что позволяет представить формулу (18.12) в следующем более простом виде:

(18.15)

Сделанные упрощения облегчают решение задачи по определению нижней и верхней доверительных границ для зарегистрированного на головном ОПО числа х. В самом деле, значения соответствующих статистических оценок могут быть найдены путем решения системы уравнений, вытекающих из приведенных выше выражений (18.9) – (18.15):

(18.16)

где – половины нижнего и верхнего дополнений к доверительной вероятности (см. рис. 18.1, е), рассчитываемые по следующим формулам:

(18.17)

а – случайные величины распределения -квадрат со степенью свободы , определяемые по соответствующей таблице и вероятностям

При найденных данным способом случайных величинах и значения нижней и верхней доверительных границ для количества зарегистрированных на головном ОПО происшествий и предпосылок к ним могут быть найдены по формулам

(18.18)

тогда как соответствующие границы для оценки параметра их потока оказываются равными

(18.19)

Заметим, что при отсутствии прогнозных оценок и , используемых здесь для повышения информативности , выражение (18.11) тоже аппроксимируется величиной , но уже со степенью свободы . Это означает, что определение доверительных границ для оценки можно также проводить по таблицам для , но при меньшей степени свободы к. Иначе говоря, при найденных таким образом значениях и по аналогии с предыдущими формулами могут быть получены следующие доверительные границы:

(18.20)

(18.21)

Именно так и рассчитаны поправочные коэффициенты и в национальном стандарте [25].

Из формул (18.15) – (18.21) также следует, что эффект от учета на головном ОПО априорной информации проявляется как бы в приросте на величину (с – 1) зарегистрированного там числа техногенных происшествий и предпосылок к ним при одновременном увеличении длительности работ на d единиц времени, что особенно важно для малых значений .

Результаты расчета доверительных границ как по формуле (18.18), так и по правилам только что упомянутого стандарта графически проиллюстрированы на рис. 18.3. Приведенные на нем графики указывают на хорошее совпадение доверительных границ, найденных двумя разными способами, а имеющиеся незначительные расхождения вызваны упрощающими допущениями, принятыми при выводе формулы (18.18).

Доверительные границы для среднего количества происшествий

Рис. 18.3. Доверительные границы для среднего количества происшествий

Что касается применения априорной информации для повышения достоверности контроля соблюдения требований к безопасности при создании ОПО, то ее использование наиболее оправдано при соблюдении условия

Именно это и наблюдается на головном ОПО, где фиксируемое число происшествий и предпосылок к ним, а также значение параметра с, характеризующего точность результатов моделирования, обычно невелики, а потому и соизмеримы между собой. А вот в результативности объединения модельных данных о предполагаемом числе X с его действительным значением можно убедиться с помощью табл. 18.1, полученной расчетом по формуле (18.18). При этом о степени сужения доверительного интервала легче всего судить с помощью значений отношения : если для оно равно 0,2 (при Y = 0,9), то для – уже 1,6.

Для удобства практического применения рассмотренной здесь процедуры уточненного статистического контроля вероятности техногенных происшествий на головном ОПО может быть рекомендована методика, включающая следующие основные этапы.

Таблица 18.1. Доверительные границы для оценок среднего числа происшествий

X

у = 0,90

у = 0,95

у = 0,99

xн

xв

xн

xв

xн

xв

1

0,36

4,75

0,24

5,57

0,11

7,43

2

0,82

6,30

0,62

7,22

0,34

9,27

3

1,36

7,75

1,09

8,77

0,67

10,98

4

1,96

9,16

1,63

10,34

1,08

12,60

5

2,62

10,51

2,20

11,67

1,53

14,15

6

3,20

11,84

2,81

13,06

2,03

15,66

7

3,97

13,15

3,46

14,43

2,57

17,14

8

4,70

14,43

4,11

15,76

3,13

18,58

9

5,43

15,70

4,79

17,08

3,72

20,00

10

6,15

16,95

5,50

18,40

4,30

21,40

11

6,90

18,20

6,20

19,70

4,95

22,80

12

7,70

19,45

6,90

20,95

5,60

24,15

13

8,45

20,65

7,65

22,25

6,25

25,50

14

9,25

21,90

8,40

23,50

6,90

26,85

15

10,05

23,10

9,16

24,73

7,59

28,16

16

10,85

24,30

9,92

25,96

8,28

29,47

17

11,65

25,50

10,68

27,19

8,97

30,78

18

12,45

26,70

11,44

28,42

9,66

32,09

19

13,25

27,90

12,20

29,65

10,35

33,40

20

14,08

29,07

13,00

30,86

11,00

34,67

21

14,91

30,24

13,80

32,07

11,81

35,94

22

15,74

31,41

14,60

33,28

12,54

37,21

23

16,57

32,58

15,40

34,49

13,27

38,48

24

17,40

33,75

16,20

35,70

14,00

39,75

25

18,24

34,91

17,01

36,89

14,75

41,00

26

19,08

36,07

17,82

38,08

15,50

42,25

27

19,92

37,23

18,63

39,27

16,25

43,50

28

20,76

38,39

19,44

40,46

17,00

44,75

29

21,60

39,55

20,25

41,65

17,75

46,00

30

22,45

40,69

21,08

42,82

18,53

47,22

Определение параметров априорного распределения количества происшествий и предпосылок к ним осуществляется по формулам типа (18.14). Имеющиеся в них оценки и рассчитываются по математическим соотношениям (11.22)–(11.24) и (11.27)–(11.33) из методики гл. 11 настоящего учебника (в предположении об известности дисперсии оценок их параметров и равенстве между собой значений и , обычно меньших 0,01).

Регистрация значений х, т и уточнение их величины с учетом априорной информации осуществляются по следующим соотношениям:

(18.22)

(18.23)

Расчет допустимого на головном ОПО числа происшествий и предпосылок к ним проводится с учетом времени и допустимой вероятности с использованием формул

(18.24)

Определение доверительных границ и для зарегистрированного числа происшествий осуществляется с помощью табл. 18.1 или графиков рис. 18.3 при выбранном .

Принятие рационально обоснованного решения о степени соответствия оцененной вероятности техногенных происшествий предъявленным к ней требованиям проводится сопоставлением найденных доверительных границ и с величиной : если ограниченный ими случайный интервал накрывает число , то уровень безопасности эксплуатации вновь созданного ОПО удовлетворяет (с принятой доверительной вероятностью) предъявленным требованиям; в противном случае требуются дополнительные испытания.

Пример

При иллюстрации работоспособности изложенного выше способа совершенствования статистического контроля техногенного риска и подтверждении его пригодности для риск-менеджмента предполагается, что на головном ОПО перегрузка АХОВ с помощью автокрана выполнялась в течение 900 ч и при этом были зарегистрированы 1 авария и 4 предпосылки к ней. В качестве априорных оценок вероятности подобных происшествий и предпосылок использованы результаты соответствующего моделирования в параграфе 11.4. При этом вероятность появления тех и других при рассматриваемых здесь работах определялась суммированием оценки с вероятностью появления критических ситуаций, рассчитанной делением на условную вероятность , а дисперсия такой оценки – по формуле (11.26) и с помощью аналогичных оценок входящих в нее параметров [2]. При этом оказалась, что и

С учетом данной априорной информации контроль приемлемости риска перегрузки АХОВ на головном ОПО проведен в указанной выше последовательности.

С помощью формулы (18.14) найдены параметры априорного распределения происшествий и предпосылок к ним: и

Подстановка зарегистрированных на головном ОПО значений и в выражения (18.22) и (18.23) позволила увеличить объем выборки исследуемых событий до величины при одновременном продлении времени выполненных перегрузочных работ до

Для выбранной доверительной вероятности найдены верхняя и нижняя доверительные границы уже зарегистрированного количества происшествий и предпосылок к ним. При этом они оказались равными и соответственно без учета и с учетом априорной информации.

Допустимое же на головном ОПО число происшествий и предпосылок к ним рассчитано по формулам (18.24). Исходя из равенства оно оказалось равным 5 для реально выполненных 900 перегрузок и почти 8 – для 1427 подобных операций.

Сопоставление найденных границ с допустимым числом происшествий и предпосылок к ним свидетельствует об удовлетворении (с вероятностью ) достигнутого на головном ОПО техногенного риска (вероятности происшествий) ее социально-приемлемой величине.

Таким образом, рассмотренный здесь подход к повышению достоверности статистического контроля приемлемости техногенного риска разрабатываемых ОПО может способствовать совершенствованию соответствующего менеджмента. Учет при этом априорной информации о параметрах моделируемых происшествий позволит повысить объективность оценки соблюдения требований к допустимой вероятности их появления.

Однако при использовании этого подхода необходимо помнить, что при низкой достоверности предварительной оценки или больших объемах выборки повышение точности статистического контроля за счет априорной информации оказывается несущественным. В то же время при высоком уровне безопасности, проявляющемся в снижении параметра , или при наличии надежных сведений о техногенных происшествиях на серийно эксплуатируемых ОПО применение априорной информации нецелесообразно, так как она может "затирать" реальные статистические данные.

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы