Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ТЕХНОЛОГИИ ПРИМЕНЕНИЯ
Посмотреть оригинал

Округление чисел

Пусть задано число х, имеющее Р значащих цифр. Округлить число х до S (S < Р) значащих цифр означает заменить его числом х*, состоящим из первых S цифр числа х. Если при округлении просто отбрасывают все цифры, расположенные справа от фиксированной цифры, то такое округление называют усечением. При ручном счете чаще применяют другое правило — округление по дополнению: если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые цифры остаются без изменения. В противном случае младший оставляемый разряд увеличивается на единицу. При таком алгоритме округления абсолютная погрешность не будет превышать половины единицы в последнем сохраняемом разряде.

Пример 1.3

Имеются числа 0,25819 и 493,72. Требуется округлить их, оставив три значащие цифры. В соответствии с приведенным правилом получим округленные числа 0,258 и 494.

Погрешности результатов арифметических операций

Абсолютная погрешность суммы и разности

Пусть складываются две величины х: и х2, для которых известны их приближенные значения. Тогда абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых

Доказательство этого утверждения практически очевидно. Поскольку |а + Ь < |а| + |Ь|, имеем

Аналогично формулируется правило для погрешности разности:

На практике принято границы погрешности округлять в сторону увеличения. Поэтому в приведенных формулах обычно используют знак равенства.

Относительная погрешность суммы и разности

Пусть знаки х и х2 одинаковые. Проведем очевидные преобразования:

Отсюда следует, что

Для относительной погрешности разности имеет место следующая формула:

Прокомментировать полученные формулы можно следующим образом: при суммировании чисел относительная точность не ухудшается, при вычитании же чисел относительная ошибка возрастает в |хг + х2] - х2 раз. Это, в частности, означает, что относительная ошибка близких чисел (когда |хх + х2)| » |ха - х2|) может быть очень большой! Вывод: при решении задач следует избегать вычитания близких чисел.

Относительные погрешности произведения и частного

Приведем без доказательства формулы вычисления относительных погрешностей произведения и частного:

Таким образом, при выполнении арифметических операций точность, как правило, уменьшается. Более подробно с вопросами оценки точности приближенных вычислений можно познакомиться в работе [5].

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы