Приближенное вычисление функций

Рассмотрим функцию п переменных у = /(хх, х2, ..., хп), которая дифференцируема в некоторой n-мерной области D. Какую погрешность имеет значение этой функции при заданных приближенных значениях аргументов х{,Х2,...,х„? Для получения ответа на этот вопрос проведем следующие рассуждения.

На основании формулы конечных приращений Лагранжа

где точка х = с принадлежит отрезку [х; х*], погрешность значения функции может быть оценена следующим образом:

Для функции одной переменной эта формула используется в следующем виде:

Если известен аналитический вид функции, то для приближенного вычисления ее значений обычно применяют метод разложения функции в ряд Тейлора — чем больше членов ряда учитывается при вычислениях, тем выше точность результата. Поскольку данный метод хорошо известен из общего курса высшей математики, здесь рассмотрим лишь пример [8]. Пусть в окрестности точки х = 0 функция sin (ях/2) разложена в ряд Тейлора и оставлены первые пять его членов. Тогда

В сходящемся знакочередующемся ряде ошибка ограничения не превосходит первого отброшенного члена. Следовательно, может быть проведена следующая оценка ошибки приближения:

Метод приближения функций отрезками ряда Тейлора имеет существенный недостаток: при удалении от точки разложения резко возрастает ошибка. Если требуется иметь ошибку, равномерно распределенную по рассматриваемому интервалу с малым максимальным значением, то целесообразно использовать разложение функции по ортогональным полиномам Чебышёва [7].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >