Корректность вычислительной задачи

Говорят, что вычислительная задача (т.е. та, где необходимо найти решение путем вычислений) корректна, если одновременно выполняются следующие три требования:

  • 1) решение задачи существует для любых значений входных величин из заданного множества;
  • 2) решение единственно;
  • 3) решение устойчиво к малым вариациям входных данных.

Рассмотрим эти требования несколько подробнее.

1. Существование решения задачи — естественное требование. Однако математическая модель — лишь некий аналог реальной сущности. Поэтому даже в том случае, когда в реальной ситуации решение существует, на модельном аналоге решение вычислительной задачи существует не всегда. Один из самых простых примеров — когда моделью является квадратное уравнение

Оно всегда имеет два корня:

Однако в зависимости от заданных с погрешностью значений коэффициентов Ъ и с эти корни могут быть комплексными, что далеко не всегда отвечает реальной действительности.

  • 2. Единственность решения. Математическая модель в силу своей структуры может давать не единственное решение, в то время как отображаемая ею реальная действительность этого не допускает. Такая ситуация обычно вызвана неверным построением модели и крайне нежелательна.
  • 3. Решение вычислительной задачи Yустойчиво по входным

данным, если оно зависит от входных данных непрерывным образом. На качественном уровне это означает следующее: при достаточно точных значениях входных параметров может быть получена сколь угодно высокая, заранее заданная точность решения. Например, задача вычисления определенного интеграла устойчива, а задача вычисления производной или ранга матрицы — неустойчива. Действительно, матрица имеет ранг, равный

единице. Если же коэффициент а21 изменить набесконечно малую величину е (а21= 1 + е), то ранг матрицы станет равным двум, так как определитель этой матрицы уже не равен нулю.

В целом ряде практических задач, которые теоретически устойчивы, возникает вопрос: как «чувствует» решение задачи малые вариации входных данных? Оказывается, что в разных задачах по-разному. Если малым вариациям входных переменных отвечают малые вариации решения, то вычислительную задачу называют хорошо обусловленной. В противном случае говорят о плохо обусловленной вычислительной задаче. Количественной мерой обусловленности вычислительной задачи служит так называемое число обусловленности.

Пусть между абсолютными погрешностями входных данных х и решением задачи у(х) установлено следующее неравенство: 6(у*) < v8 • 8(х*). Коэффициент v8 называют абсолютным числом обусловленности.

Подобное отношение можно установить и между относительными погрешностями: еО*) ^ veS(x*). В этом случае коэффициент vg называют относительным числом обусловленности. Чем хуже обусловлена задача, тем больше величины ve и v8. В предельном случае, когда задача неустойчива, полагают v? = °°.

Пример 1.5

Выражение (1.4) можно переписать следующим образом:

Здесь относительное число обусловленности ve = |ха + х2гх2. Пусть х* = 0,999996 (имеет шесть верных значащих цифр). Тогда вычисляемая величина/" = 1 - х* = 0,000004 имеет только одну верную значащую цифру. В подобных случаях говорят о катастрофической потере точности.

Более подробно о корректности вычислительных задач изложено в работе [4].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >