Формирование критерия аппроксимации

Для того чтобы измерять степень близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций, должен быть сформирован критерий как средство для суждения. Таким средством обычно выступает мера пространства, его метрика.

Говорят, что в пространстве R введена метрика, если в этом пространстве между любыми двумя элементами х, и хк из R определено расстояние р(х„ хЛ, такое что:

— вещественное неотрицательное число;

только в том случае, если х( = хр,

Множество R элементов х любой природы, в котором введена метрика, называется метрическим пространством. Таким образом, введение метрики пространства есть отображение пространства в множество действительных чисел. Только в метрическом пространстве можно давать количественные оценки различия таких объектов, как вектор, матрица, функция.

Последовательность элементов х( метрического пространства называется сходящейся по метрике к элементу х, если р(х„, х) —> О при п —>

Элементами рассматриваемых нами пространств будут числа, векторы, матрицы, функции. Эти пространства являются, как правило, линейными нормированными пространствами (L). Линейность пространства обусловлена тем, что в нем определены операции сложения элементов и умножения элементов пространства на число. Для характеристики такого рода объектов вводится понятие нормы как отображение векторного пространства в множество действительных чисел L —> М1 [9].

Норма — это некоторая количественная оценка каждого элемента данного пространства, которая определяется введенной в этом пространстве метрикой. Рассмотрим некоторые пространства.

Множество действительных чисел К1. Его элементы имеют норму, совпадающую с модулем этого числа: ||лг|| = |х|.

Векторное п-мерное пространство Rn. Элементами п-мерного конечномерного пространства являются п-мерные векторы х = (х12,...,хп). Норму вектора часто вводят следующим образом:

Пространство с такой нормой называется евклидовым. Прир = 2 эта норма соответствует понятию длинывектора г = (х, у, z) обычного трехмерного пространства

Как предельный случай (р —» может быть введена и такая

норма вектора:

При этом имеет место соотношение

Элементами векторного пространства Rn могут выступать квадратные матрицы А. В таком пространстве квадратных матриц используют нормы, согласованные с соответствующими нормами векторов. Нормы матрицы называются согласованными, если ||Ахг|| < ||А|| - llxll. Наименьшая из норм матрицы, согласованных с данной нормой вектора, называется подчиненной данной норме вектора. Так, норме ЦхЦ^ подчинена норма матрицы

В пространстве функций также может быть определено множество норм. В частности, в нашем изложении встретится чебы- шёвская норма

Сходимость в пространстве непрерывных функций, заданных на отрезке [0; 1] с чебышёвской нормой, называется равномерной.

Если рассматривается множество функций Ьр, определенных и интегрируемых на отрезке [а; Ъ], то вводят следующую норму:

Сходимость с такой нормой называют сходимостью в среднем. При р = 2 пространство функций называют гильбертовым, а сходимость в нем — среднеквадратичной.

На рис. 2.1 иллюстрируется различие сходимости в среднем (/, (х)) с равномерной сходимостью (f2(х)). Возможно построение и других метрик. Какую метрику выбрать — решает исследователь, исходя их сущности решаемой проблемы. Так, если в электронной системе опасны сильные скачки напряжения, то целесообразно выбирать равномерную сходимость. Если же опасно накопление ошибок (например, в системах с интеграцией сигнала), то равномерную норму использовать скорее всего нельзя.

Равномерная сходимость/(х) и сходимость в среднем/, (х)

Рис. 2.1. Равномерная сходимость/2(х) и сходимость в среднем/, (х):

Между этими нормами существуют следующие соотношения:

т.е. равномерная сходимость сильнее сходимости в среднем. Это, в частности, означает, что из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость (р = 2).

Примечание 2.1. Если функции рассматриваются на множестве точек (что часто бывает при использовании численных методов), то нормы определяются не через интегралы, а через соответствующие суммы.

В зависимости от преследуемых целей при решении задачи аппроксимации выбирается метрика p(f, g) как мера расхождения между аппроксимируемой функцией Дх) и аппроксимирующей функцией g(x) — мера погрешности. В каждом из рассматриваемых методов будет введена подходящая метрика, например:

Нахождение параметров аппроксимирующей функции

Когда мера погрешности выбрана, приступают к нахождению параметров аппроксимирующей функции. Задача нахождения параметров часто решается при помощи метода наименьших квадратов (см. ч. 2 книги).

Формально же задача нахождения параметров функции g(x) может быть решена из условия минимизации меры погрешности (см. ч. 3 книги):

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >