Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка

Пусть задана система п дифференциальных уравнений первого порядка

Требуется определить неизвестные функции уь у2, уп, если заданы начальные условия

Задача (4.7), (4.8) называется задачей Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка.

В векторной форме эта задача имеет вид

Численное решение этой задачи состоит в нахождении приближенных значений вектора Y в заданных узлах сетки х i - 1,..., п.

На практике наиболее распространенным методом решения подобных задач является метод Рунге — Кутты. Соответствующие рекуррентные соотношения, как и для случая одного уравнения первого порядка, имеют вид

где

Погрешность метода можно оценить следующим образом. Пусть сначала проводились вычисления с шагом h, а затем с h/2. Тогда погрешность в точке х, при вычислениях с шагом h/2 оценивается так:

где yJ(j-я координата вектора Y,, вычисленного в i-м узле.

Пример 4.3 [2]

Рассмотрим следующую задачу: на сетке отрезка [0; я/2] с шагами я/6 и л/12 найти численное решение системы двух уравнений

при условиях у, (0) = 0,у2(0) = 1.

Решение. Приведем обозначения условий задачи к виду, удобному для проведения расчетов по методу Рунге — Кутты:

При этом индекс i меняется от 1 до 3 (поскольку узлов на указанном отрезке, кроме исходного, еще три: ху = я/6, х2 = п/3, х3 = я/2), а индекс) меняется от 1 до 4.

Результаты расчета приведены в следующей таблице.

i

Численное решение

Точное решение для ух = sinx,

С шагом я/6

С шагом я/12

Уи

/21

Уи

Ун

0

0

0

1

0

1

0

1

я/6

0,499674

0,866054

0,499980

0,866032

0,5

2

п/3

0,865489

0,500375

0,865998

0,500030

0,866253

3

я/2

0,999585

0,000889

0,999987

0,000060

1

Погрешность в соответствии с формулой (4.10) можно оценить так:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >