Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков
Пусть требуется решить уравнение
при начальных условиях
Идея решения таких задач Коши заключается в том, что вначале уравнение п-го порядка преобразуется в систему п уравнений первого порядка, которая затем решается одним из известных методов, например описанным выше методом Рунге — Кутты четвертого порядка.
Введем новые неизвестные функции
Теперь вместо задачи с дифференциальным уравнением п-го порядка (4.11), (4.12) решается следующая задача с системой п уравнений первого порядка:
при условиях
Решение такого рода задач проиллюстрировано в предыдущем примере.
Численное решение краевых задач
Пусть требуется найти решениеу -у(х) уравнения n-го порядка
для которого значения искомой функции и ее производных (s > 0)
во всей наперед заданной системе точек {х, | i > 2} удовлетворяют п независимым между собой краевым условиям типа
где
Исторически первая краевая задача была поставлена для дифференциального уравнения второго порядка, когда условия на искомую функцию и (или) на ее первую производную были наложены на обоих концах рассматриваемого промежутка. В более сложных краевых задачах условия могут быть наложены и во внутренних точках, эти условия могут быть связаны между собой, например условиями нормировки и т.д.
Приближенное решение краевых задач обычно ищется на пути поиска их дискретного аналога. Наибольшее распространение получил так называемый метод конечных разностей (метод сеток) [14].
Сущность разностных методов состоит в следующем. Исходная область изменения аргументов заменяется дискретным множеством точек — сеткой, производные неизвестной функции аппроксимируются разностными отношениями. Тем самым задача решения дифференциального уравнения с граничными условиями сводится к задаче решения системы алгебраических уравнений (линейной или нелинейной), называемой разностной схемой. За приближенное решение исходного уравнения в данном узле сетки принимается решение этой разностной схемы. Если при измельчении сетки решение получается более точным, то говорят о сходимости решения.
Для иллюстрации рассмотрим следующую простейшую краевую задачу:
Отрезок [а; Ь], на котором функции р(х) и q(x) непрерывны, шагом h разбивают на п равных частей. В полученных точках х0 = а, xi= хо + х2 = хо + 2Л, ..., хп = b поставленная задача (4.15), если положить р(х,) = р,, q(Xi) = q,, /(х,-) = ft, приобретает следующий вид:
Данный переход осуществлен на базе замены производных их конечно-разностными аналогами:
Таким образом, аналогом краевой задачи выступает система п + 1 уравнений с п + 1 неизвестными Уп значениями
неизвестной функции в узловых точках — дискретный аналог искомой функции.
Пример 4.4 [6]
Решить задачу
Решение. Выберем шаг равным 0,5. Тогда узлами будут точки -1, -0,5, 0, 0,5, 1. В этом случае, поскольку у_г =у, = 0, конечно-разностный аналог задачи имеет следующий вид:
Подставляя поочередно значения аргумента в узлах, получим систему трех уравнений с пятью неизвестными
Используем краевые условия и приведем подобные члены. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными
Решение этой системы дает приближенное решение задачи (4.17):
Примечание 4.1. В тех задачах, где коэффициенты уравнения — разрывные функции, возникают дополнительные условия. Например, даже если функции лишь кусочно-непрерывны, то вторые производные аппроксимировать разностными соотношениями уже нельзя. При разрывах функций ситуация еще более сложная. Возникает неединственность возможных вариантов согласования решений справа и слева от точек разрыва.
Для численного решения задачи все точки разрыва (дополнительно) принимаются за узлы сетки. В этих узлах ставятся дополнительные условия, в основном о типе непрерывности. Так, в задаче о распространении тепла в неоднородной среде на границах ставится условие непрерывности температуры (теплового потока и т.п.), например в следующей форме:
