О численном решении дифференциальных уравнений в частных производных

При переходе к изучению моделей, описывающих объект исследования в двух и более измерениях, приходят к задачам, содержащим дифференциальные уравнения в частных производных, а также дополнительные условия, обеспечивающие выбор единственного решения из совокупности решений уравнения. Такими объектами обычно выступают сплошные среды. Задача строится следующим образом. Рассматривается некоторый объект, поведение которого моделирует функция и = u(h, q, ..., t,..., х, ..., z). Исходя из физики задачи составляется уравнение, включающее, кроме самой функции, ее частные производные и определенные параметры, а также записываются необходимые граничные условия.

Базовыми для большинства практических задач являются уравнения второго порядка, связывающие пространственные координаты и время: и = u(t, х, у, z). Это уравнение, описывающее колебание среды (волновое уравнение):

и уравнение, описывающее тепловые процессы и процессы диффузии (уравнение теплопроводности):

В зависимости от задачи уравнения дополняются граничными условиями, например и т.п.

Для численного решения такого рода задач чаще всего используются разностные схемы. В целом идея решения является общей для всех разностных схем:

  • • для всех переменных вводят сетку;
  • • все функции и их производные заменяются соответствующими разностями;
  • • записывая полученные разностные уравнения для каждого узла сетки, приходят к системе алгебраических уравнений;
  • • решение системы алгебраических уравнений принимается за приближенное (дискретное) решение исходной задачи.

Для иллюстрации в качестве примера рассмотрим решение одномерной задачи линейной теплопроводности [13].

Пример 4.5

Пусть u(t, х) — температура точки х в момент времени г. Требуется определить функцию, описывающую изменение температуры в период времени 0 < t < Т во всех точках одномерного предмета длиной а. Тогда формализованная модель задачи имеет следующий вид:

причем

Решение. Введем сетку с шагом h для пространственной координаты х и сетку с шагом т для временной координаты t. Граничные условия задают значение функции в начальный момент времени (начальную температуру) на всем отрезке [0; а] и значения функции в граничных точках на всем временном отрезке (на концах отрезка поддерживается температура по известным законам pj(t) и ц2(0)-

Для данного уравнения в частных производных сформируем его разностный аналог. Для этого введем обозначения: х„ = nh, tm = mx, причем 0 < m < М. С учетом граничных и начальных условий имеем:

Решение системы (4.18), содержащей М • N неизвестных, дает значение искомой функции i/(t, х) во всех узлах сетки.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >