Полный многофакторный дисперсионный анализ

На отклик могут влиять несколько факторов, каждый из которых имеет конечное число уровней. В этом случае при дисперсионном анализе варьируется не один, а несколько факторов. При полном ДА отклик наблюдается для каждого сочетания уровней изучаемых факторов.

Однофакторная модель может оказаться незначимой, если влияние фактора А, определяемое F-отношением, является несущественным на фоне большого внутригруппового разброса S0CT. Этот разброс может быть вызван не только случайными причинами, но также действием еще одного фактора В. Фактор В дополнительно включается в модель, чтобы попытаться уменьшить действие неучтенных факторов и повысить влияние на отклик закономерных причин. Аналогично возникает необходимость рассмотрения трех- и многофакторных моделей.

Модель данных при независимом действии двух факторов

Рассмотрим матрицу наблюдений двухфакторного анализа. Главный фактор — фактор А, например влияние настройки станка; дополнительный фактор — фактор В, например влияние качества сырья. Фактор А принимает К, а фактор Вт различных значений, т.е. К — число станков, т — число партий сырья. Уровни фактора Аспособы обработки — отображаются в таблице по столбцам, а уровни фактора Вблоки — по строкам (табл. 8.7).

Таблица 8.7

Матрица наблюдений двухфакторного анализа с одним наблюдением в ячейке

Блок

Обработка

Л,

^2

Ак

Bl

Уп

У12

У1К

В2

У21

У 22

У2К

К

У ml

Ут2

УтК

В блоке отклики могут значимо различаться только за счет различных уровней фактора А, т.е. за счет различных обработок. Это простейшая матрица наблюдений двухфакторного анализа, так как в каждой ячейке имеется только одно наблюдение у у. В отличие от матрицы однофакторного анализа наблюдения в любом столбце не являются однородными, т.е. не образовывают выборки, если влияние второго фактора значимо.

Вклады факторов А и В в значения отклика на соответствующих уровнях j и ( обозначим через а; и Ь,. Между факторами нет взаимодействия. Таким образом, каждое наблюдение у у представляется в виде следующей аддитивной модели:

где i = 1, ..., m;j = 1, ..., К.

Предполагается, что для случайных величин справедливо требование~?у ~ N(0, а|), причем дисперсия а| одинакова при всех значениях i и j.

Величины вкладов bt и а; не могут быть восстановлены однозначно. Так, увеличение всех Ьг и уменьшение всех а; одновременно на одну и ту же константу не изменит значения у у. Для однозначного определения вкладов факторов следует использовать отклонения (3, и т; отклика от р в результате действия факторов В и А, р, + хj = b, + а, - р, где р — общее математическое

ожидание отклика, его оценкой является величина у; ;

. Величины (За,..., (3m называются эффектами блоков, они

характеризуют отклонения от р в результате действия фактора В; ть ..., хкэффекты обработки, они характеризуют отклонения отклика из-за действия фактора А. Тогда

Как и в случае однофакторного анализа, нулевая гипотеза об отсутствии эффектов обработки имеет вид Н0: tj = т2 = ... = % = 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >