Модель данных при взаимодействии факторов

В подпараграфах 8.2.1, 8.2.2 рассмотрен случай, когда в каждой ячейке матрицы, соответствующей условиям эксперимента, отражено одно наблюдение. Анализ выполняется в предположении независимости или аддитивности эффектов столбцов и строк, а также остаточных эффектов. Это аддитивное свойство на практике встречается редко. Предположим, что к некоторой смеси, из которой делается подошва, добавляются два химических вещества. Добавление вещества А увеличивает прочность материала на 8%, вещества В — на 5%. Однако это не означает, что добавление обоих веществ увеличивает прочность подошвы на 13%.

Если между факторами существует взаимодействие, то ему присуща своя дисперсия a^j. Без наличия параллельных наблюдений выделить величину в из общей дисперсии невозможно. Поэтому рассмотрим общую модель, когда в каждой ячейке отражено несколько наблюдений. Ограничимся так называемыми сбалансированными планами эксперимента, когда в каждой ячейке содержится равное число наблюдений п.

Каждое наблюдение у^, I - 1, ..., п, представляется в виде

где v у — эффект взаимодействия факторов (i-го уровня фактора В cj-м уровнем фактора А); — вариация внутри ячейки.

Основное уравнение двухфакторного ДА примет вид

Оценки дисперсий по факторам и S| имеют прежний вид (см. табл. 8.8), оценка дисперсии взаимодействия факторов

, оценка остаточной дисперсии и оценка полной дисперсии

Остаточная часть Q0CT характеризует влияние прочих случайных факторов (кроме факторов А, В и их взаимодействия), она обусловлена наличием нескольких наблюдений в ячейке:

Значимость влияния факторов А, В и их взаимодействия проверяют по соответствующим F-отношениям (например, )

или их вычисленным уровням значимости.

Пример 8.2

Рассмотрим план эксперимента с тремя факторами: А — артикул материала, В — фасон изделия, С — цвет. Исследуем их влияние на сбыт изделия с целью выяснения вкусов покупателей. Выручка в тысячах рублей при реализации продукции за два квартала приведена в табл. 8.9.

Решение. Наблюдения по каждому кварталу являются повторами, и их можно рассматривать независимыми, не образующими фактора (схема рандомизированного блочного планирования). Поэтому суммы квадратов, связанные с фиктивным фактором квартала D, отнесем к источнику остаточной дисперсии.

Матрица наблюдений для выручки продукции, разложенной по уровням четырех факторов

Таблица 8.9

Квартал D

Цвет

С

Фасон В

В1 — цельнокроеный

В2 — прилегающий

В3 — прямой

Артикул А

Артикул А

Артикул А

Аг — хлопчатобумажная ткань

Л

Н

и

Q.

в

1

CN

А3 — синтетика

А4 — хлопчатобумажная ткань и шерсть

А! — хлопчатобумажная ткань

Л

н

и

а.

а»

В

1

CS

А3 — синтетика

А4 — хлопчатобумажная ткань и шерсть

Аг — хлопчатобумажная ткань

Л

н

0 СХ

а>

В

1

CN

А3 — синтетика

А4 — хлопчатобумажная ткань и шерсть

Di

Cj — синий

2,9

9,8

8,9

7,8

23,9

7,9

8,7

зд

3,2

8,8

7,9

С2 — коричневый

12,2

зд

8,8

21,7

6,8

15,9

2,2

2,1

6,9

1,9

С3 — зеленый

4,9

10,1

5,1

7,9

22,0

9,1

16,8

3,2

2,2

7,8

5,8

3,0

d2

Сг — синий

2,2

13,8

8,9

12,7

28,0

15,9

10,8

ЗД

2,2

6,9

5,2

2,8

С2 — коричневый

6,9

10,8

5,1

8,3

28,1

18,2

9,7

6,4

5,8

5,7

6,1

9,2

С3 — зеленый

9,0

10,2

27,1

7,8

27,7

10,7

16,3

6,9

7,6

8,8

7,5

14,4

В табл. 8.10 представлены результаты полного трехфакторного ДА с учетом взаимодействия факторов.

Таблица 8.10

Базовая таблица трехфакторного ДА с учетом взаимодействия

факторов

Источник

вариации

Сумма

квадратов

Степень

свободы

Средний

квадрат

F-otho-

шение

«пыч

Главные факторы

970,08069

7

138,58296

8,927

,0000

А

223,07486

3

74,35829

4,790

,0053

В

699,47583

2

349,73792

22,530

,0000

С

47,53000

2

23,76500

1,531

,2267

Двухфакторное

взаимодействие

1396,8278

16

87,30174

5,624

,0000

АВ

1313,0197

6

218,83662

14,097

,0000

АС

69,7689

6

11,62815

0,749

,6131

ВС

14,0392

4

3,50979

0,226

,9225

Остаток

745,13028

48

15,523547

Общее (скорректированное)

3112,0388

71

Результаты расчетов можно интерпретировать следующим образом. Материал, из которого изготовлено изделие (фактор А), и его фасон (фактор В), рассматриваемые по отдельности, являются значимыми, так как соответствующие вычисленные уровни значимости для статистики Фишера малы (авыч < 0,05). Цвет изделия (фактор С) не оказывает существенного влияния на распродажу продукции (а,,,,,,, = = 0,227 >0,05).

Заметную величину имеет взаимодействие между факторами А и В. Рассматриваемые же совместно факторы А и С, а также факторы В и С не оказывают существенного влияния на сбыт изделия.

Таким образом, артикул материала и фасон изделия, рассматриваемые по отдельности, а также их сочетания (например, неподходящий фасон при низком качестве материала или модный фасон при хорошем материале) являются теми сведениями, которым отдает предпочтение покупатель при совершении покупки.

Вид таблицы средних и графиков средних значений на каждом уровне фактора (или комбинации уровней для взаимодействия факторов) аналогичен таблице и графикам при однофакторном ДА.

Однородные уровни факторов по их влиянию на сбыт изделия показаны в табл. 8.11.

Значительное различие по влиянию на распродажу продукции наблюдается между изделиями из синтетики, с одной стороны, и из хлопчатобумажной и шерстяной ткани — с другой, так как они принадлежат к различным однородным группам уровней фактора А.

В однородную группу объединены прямой и цельнокроеный фасоны изделия (1-й и 3-й уровни фактора В). Цвет изделия не оказывает существенного влияния на распродажу продукции, так как все три уровня фактора С входят в одну группу.

Таблица 8.11

Результаты сравнения средних значений на каждом уровне факторов А, В, С

Множественный анализ сбыта по фактору А

Уровень

Число наблюдений

Средние

Группы

однородности

4

18

6,522222

*

2

18

9,716667

*

*

3

18

9,816667

*

*

1

18

11,361111

*

Множественный анализ сбыта по фактору В

Уровень

Число наблюдений

Средние

Группы

однородности

3

24

5,916667

*

1

24

8,683333

*

2

24

13,462500

*

Множественный анализ сбыта по фактору С

Уровень

Число наблюдений

Средние

Группы

однородности

2

24

8,670833

*

1

24

8,895833

*

3

24

10,495833

*

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >