Модели дисперсионного анализа со случайными факторами

Рассмотрим гнездовой план с двумя случайными факторами. Фактор А — артикул ткани, фактор В — тип изделия. Исследуем их влияние на затраты времени при изготовлении одного пошивочного изделия (табл. 8.12).

Сначала случайно выбирается К значений фактора А артикулов тканей). Затем для каждого из видов ткани также случайно отбирается т значений фактора В, т.е. т типов изделия, взятых наугад из всего многообразия ассортимента. Для каждого изделия проводится несколько повторных измерений отклика у^ — затрат времени.

Аддитивная модель для данного плана имеет вид

где ущ — затраты времени при изготовлении I-го изделия j-ro типа из i-и ткани; р — истинные затраты времени; т, — эффект г-го значения случайного фактора А (артикула ткани); (3* — эффект случайно выбранного j-ro типа изделия из г-й ткани; % — случайная ошибка.

При анализе модели со случайными факторами вклад в общую дисперсию отклика оценивается не по индивидуальным значениям факторов, а по вкладу каждого фактора в целом. В модели И, в отличие от модели с постоянными факторами, все наблюдения отклика имеют одинаковые математические ожидания р, р = у = у..., так как величины т,-, (3,-, и % взаимно независимы и нормально распределены с нулевым средним и дисперсиями о^, а^ и aj соответственно. Полная дисперсия отклика в этом случае

Соответствующие суммы квадратов в данной модели имеют следующий вид:

— сумма квадратов между средними по гнездам из т столбцов и общим средним у;

— сумма квадратов между средними

по столбцам и общим средним в каждом гнезде;

Базовая таблица ДА имеет вид, представленный в табл. 8.13. Для рассматриваемого гнездового плана с двумя случайными факторами (см. табл.8.12) гипотеза Н0: с^-0 проверяется

с помощью отношения . Для заданного уровня значимости а нулевая гипотеза отклоняется при Fz > Fl_a, где Fx имеет, когда верна гипотеза Н0, F-распределение с - 1, К(т - 1)) степенями свободы.

Гипотеза Н0: <Тр=0 проверяется сравнением с F1_ot,

вычисляемого по F-распределению для (JC(m - 1), Кт{п - 1)) степеней свободы.

Матрица наблюдений для гнездового плана с двумя случайными факторами

Таблица 8.12

наблюдения

Артикул ткани А

А, — хлопок

А; — шерсть

Ак — синтетика

Тип изделия В

Тип изделия В

Тип изделия В

Bi

В,

Вт

Вг

Bi

Вт

Вг

Bi

вт

1

Уиг

Ут

У lwl

Ут

Ут

Ут 1

Уки

Укп

Укт

i

Уш

У у

У 1ml

Уш

Ущ

Уш

Уки

Уки

Укт1

п

Упп

У1jn

Утп

Упп

У tin

Уипп

Укт

Укт

Уктп

Базовая таблица двухфакторного ДА для модели II

Таблица 8.13

Источник дисперсии

Сумма

квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат (оценка дисперсии)

Между значениями фактора А

Qt

К-1

Между значениями фактора В при разных значениях фактора А

Qp

К(.т - 1)

Остаточное рассеяние

Qoct

Кт(.п - 1)

Если предположить, что в матрице наблюдений (см. табл. 8.13) для каждого из видов ткани (гнезда Аь i = 1, ..., К,) типы изделия (уровни Вь В2, Вт) одинаковы и отобраны неслучайно,

то справедлива модель I, дисперсионный анализ которой можно выполнить по аналогии с примером 8.2 из параграфа 8.2. Обычно выводы о влиянии факторов и их взаимодействий, полученные для модели И, сохраняются и для модели I.

Для рассмотренного в параграфе 8.2 плана эксперимента с тремя факторами в предположении их случайной природы (модель II) проверка нулевых гипотез об отсутствии влияния на сбыт продукции усложняется. Взаимодействие трех факторов

легко проверяется с помощью отношения . Взаимодействия

двух факторов проверяются с помощью отношений типа

(для факторов А и В). Проверка же влияния каждого фактора в отдельности возможна, только когда установлено отсутствие его совместного влияния с каждым другим фактором. Так, влияние фактора А может быть проверено с помощью отношения ,

только если была принята гипотеза об отсутствии влияния взаимодействия АВ и АС.

Модели ДА со случайными факторами неустойчивы к нарушениям предположений о нормальности и независимости эффектов случайных факторов. Эти нарушения могут привести к ошибкам при проверке гипотез.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >