Оценка параметров линейной регрессионной модели

Пусть необходимо найти параметры Ь0 и Ьг линейной функции

Имеем (в предыдущем подпараграфе аргументы функции/были связаны знаком умножения — как линейная комбинация, а здесь точкой с запятой — как перечисление параметров функции)

Дифференцируем это выражение по Ь0 и Ьь имеем

После подстановки этих соотношений в систему уравнений (10.2) получим

Раскроем скобки:

Разделим оба уравнения на п:

Суммы, входящие в уравнение, представляют собой статистические моменты

где j — второй смешанный начальный момент; М2 — второй начальный момент; х, у — средние арифметические случайных величин X и Y соответственно.

Отсюда b0 = y-bjX, тогда

Решая это уравнение относительно Ьх, имеем

где Кху — момент корреляции между X и Y; gJ — дисперсия случайной величины X.

Оценка параметров нелинейной регрессионной модели

Пусть в опыте получены значения i = 1, ..., п. Требуется

методом наименьших квадратов подобрать параметры квадратичной функции — параболы второго порядка:

(эта зависимость линейна относительно коэффициентов b0,bx, Ь2). Частные производные равны

тогда имеем

Раскроем скобки, суммируем и разделим на п:

Здесь

it it

Учитывая, что М0(Х) = 1; М0 г(Х, Y) = MX(Y), получим

Из уравнений ясно, что в левой части присутствуют только моменты величины X в убывающем порядке, в правой части стоят моменты системы {X, Y), причем порядок момента по X убывает от уравнения к уравнению, а порядок Y всегда остается первым.

Решая эту систему уравнений, можно определить параметры Ь0, Ь], Ъ2,..., Ъп конкретно выбранной на практике нелинейной регрессионной модели, если они входят в нее линейно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >