Проверка адекватности нелинейной регрессионной модели на основе анализа общей вариации отклика

Для оценки значимости в предположении нормальной однофакторной модели регрессии вида f(x) = b₀ +b₁x + b₂x² +... проверяется гипотеза о равенстве коэффициентов Ъ_v Ъ₂,... нулю, Н₀: Ъ^ = Ь₂= ... = 0, что эквивалентно гипотезе о равенстве нулю индекса корреляции, Н₀: I_yi_x = 0.

Для проверки нулевой гипотезы используется основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов на слагаемые. Общая сумма квадратов отклонений отклика Q =

П

= ?(у;-у)² относительно его среднего значения у разлагается

i=l

на сумму Q характеризующую влияние фактора X, т.е. обусловленную регрессионной моделью /СО, и остаточную сумму квадратов Q_0CT, характеризующую влияние неучтенных факторов, т.е. обусловленную случайными ошибками относительно модели регрессии. Формальный вид разложения для однофакторной модели

Очевидно, что чем меньше влияние неучтенных факторов, тем лучше модель соответствует экспериментальным данным, так как вариация отклика У в основном объясняется влиянием факторах.

Для проверки гипотезы об адекватности предлагаемой модели f(x) = b₀ + + Ь₂х² + ... используется F-отношение

с числом степеней свободы (1-1, п- /), где I — число коэффициентов модели (число связей).

Таким образом, критерий Фишера вычисляется как частное от деления дисперсии, обусловленной моделью регрессии, на остаточную дисперсию. По величине F-отношения проверяется гипотеза Н₀: b_l = b₂ = ... = 0. Когда коэффициенты отличны от нуля, F-отношение имеет тенденцию к возрастанию. При F > F_a, где критическое значение F_a имеет число степеней свободы (I - 1, п - I), значения коэффициентов Ъ_и Ь₂,... отличаются от нуля и регрессионная зависимость у - f(x) значима.

Пример 10.2

В табл. 10.2 приведены результаты для линейной модели зависимости поверхностной плотности трикотажа у от суммарной длины нитей в петлях x_v

Таблица 10.2

Таблица дисперсионного анализа однофакторной линейной модели

Показано разбиение общей суммы квадратов Q на сумму квадратов <2_М0Д и остаточную сумму квадратов Q_OCT. В столбце «Средний квадрат» приведены оценки дисперсий S^_10fl и S^_CT, равные отношениям соответствующей суммы квадратов и числа степеней свободы. Нулевое значение вычисленного уровня значимости F-отношения говорит о том, что гипотеза Н₀: Ь₁ = 0 должна быть отвергнута, т.е. Ь_г отлично от нуля и линейная модель Дх_г) = 672,34 - 39,75х! является значимой.

Под таблицей дисперсионного анализа приведены значения коэффициента корреляции г, коэффициента детерминации и стандартного

отклонения