Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ТЕХНОЛОГИИ ПРИМЕНЕНИЯ
Посмотреть оригинал

Матрица планирования полного факторного эксперимента

Матрица ПФЭ реализует все возможные неповторяющиеся комбинации уровней р независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций п = 2р определяет число точек факторного пространства и равно числу опытов.

Планирование эксперимента сводится к построению матрицы планирования (МП). Если исследуется трехфакторная модель объекта, для которой функция отклика относительно стандартизированных факторов имеет вид

то матрица планирования ПФЭ (матрица Адамара) для р = 3 выглядит следующим образом (табл. 11.1).

Таблица 11.1

Матрица Адамара

№ опыта i

zo

zi

z2

z3

zlz2

zlz3

Z2Z3

Z1Z2Z3

У

1

+1

-1

-1

-1

+ 1

+ 1

+1

-1

У1

2

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+ 1

+ 1

У2

3

+1

-1

+ 1

-1

-1

+1

-1

+ 1

Уз

4

+1

+1

+1

-1

+ 1

-1

-1

-1

У 4

5

+1

-1

-1

+ 1

+ 1

-1

-1

+ 1

Уз

6

+1

+1

-1

+1

-1

+ 1

-1

-1

Уб

Окончание табл. 11.1

№ опыта (

zo

zi

Z2

Z3

zlz2

zlz3

Z2Z3

Z1Z2Z3

У

7

+1

-1

+i

+i

-1

-1

+ 1

-1

У 7

8

+1

+1

+i

+i

+1

+1

+ 1

+ 1

У8

Здесь z0 — фиктивный фактор, соответствующий постоянной составляющей Ъ0 уравнения объекта. В последнем столбце записывают значения отклика, соответствующие определенным сочетаниям факторов.

Правила построения МП.

  • 1. В первой строке i = 1 все факторы устанавливаются на нижнем уровне z,= -1 ,j = 1, ..., р.
  • 2. Последующие строки формируются по следующему правилу: при последовательном переборе точек факторного пространства (строк МП) частота смены знака для каждого последующего фактора Zj+1 вдвое меньше, чем для предыдущего z;-.
  • 3. Все взаимодействия факторов z,Zj, I = 1, ..., р, j < I, для каждой точки факторного пространства получаются перемножением нормированных значений соответствующих факторов.

Проведение ПФЭ позволяет оценить не только силу влияния факторов на отклик, но и эффекты взаимодействия: например, как добавление одних веществ будет стимулировать влияние других на качество выпускаемого продукта.

Столбцы МП, соответствующие факторам zx, z2, ..., zp, образуют матрицу спектра плана. Вся МП, включающая фиктивный столбец и столбцы взаимодействия факторов, часто называется расширенной информационной матрицей.

Свойства матрицы планирования (без фиктивного столбца).

  • 1. Симметричность относительно нулевого уровня означает, что алгебраическая сумма элементов каждого столбца равна нулю.
  • 2. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (свойство нормировки).
  • 3. Дисперсии предсказанных значений отклика одинаковы на равных расстояниях от нулевого уровня (свойство ротата- бельности).

4. Ортогональность означает, что сумма почленных произведений любых двух различных вектор-столбцов матрицы равна нулю:

Таким образом, ПФЭ обладает ортогональной матрицей планирования (ОМП). Ортогональность вектор-столбцов МП позволяет оценивать коэффициенты модели регрессии независимо друг от друга, т.е. избавиться от неопределенности, связанной с неоднозначным оцениванием этих коэффициентов.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы