Приведение инерционных характеристик

11ри определении приведенных масс и моментов инерции стремятся сохранить неизменной кинетическую энергию системы. Если приведение не сопряжено с изменением числа степеней свободы, то условие баланса кинетической энергии может быть выполнено точно. Так, для приведения момента инерции /3 к входному звену (см. рис. 2.1, б, в) достаточно сохранить баланс кинетической энергии элементов J2 и /3 до и после приведения:

где фл, фз ~ угловые скорости элементов J2 и L.

Поскольку , где z2, z3 - числа зубьев, то

В общем случае вместо квадрата передаточного отношения коэффициентом приведения является квадрат первой геометрической передаточной функции

П' = бП/

Рис. 2.3

где ф - входная координата.

Далее обратимся к примеру, когда приведение может быть осуществлено лишь приближенно, для чего рассмотрим вал, совершающий крутильные колебания (рис. 2.3, а).

Сначала примем, что диск /0 неподвижен. Приведем распределенный по длине вала момент инерции J, к сечению правого диска; тем самым осуществляется переход к упрощенной динамической модели, в которой диск с пока неизвестным приведенным моментом инерции JR связан с заделкой безынерционным упругим элементом (рис. 2.3, б).

Выделим элементарный участок вала dx, кинетическая энергия которого равна

где ф(х,?) - угловая скорость в сечении х.

Интегрируя формулу (2.1), получаем

Следовательно, суммарная кинетическая энергия равна

С другой стороны, обращаясь к модели, приведенной па рис. 2.3, б, имеем

Отсюда, приравнивая выражения (2.2) и (2.3), находим

До сих нор выкладки были строгими. Однако для получения конечного результата приходится использовать некоторые рассуждения, носящие приближенный характер. Примем для отношения /=ф(х,?)/ф(/, t) какой-либо правдоподобный закон распределения пох, который не вступал бы в противоречие с истинными граничными условиями прих = 0 их = /, например f-x/L Тогда на основании (2.4) Jv = JJ3 + J2. (Заметим, что в приведенном относительно простом примере возможно получить точное решение задачи, рассматривая вал как систему с распределенными параметрами.)

В рассмотренном примере кинетическая энергия связана лишь с колебательным процессом. Если диск J0 в программном движении совершает угловые перемещения по заданному закону <р(0,7) = ф.(7), то

С другой стороны, для модели с сосредоточенными параметрами

Здесь JA,JB приведенные значения моментов инерции на левом и правом концах вала.

Абсолютная угловая скорость в произвольном сечении вала складывается их двух составляющих: «программной» ф.(0 и колебательной Дф (.*:,?)• Потребуем, чтобы равенство кинетической энергии исходной системы и модели сохранялось в обоих предельных случаях - при Дф = () (жесткая система) и при ф. =0 (диск JQ неподвижен). Приравнивая выражения (2.5) и (2.6) для этих случаев и сохраняя закон распределения скоростей, принятый в предыдущем примере, получим

Отсюда Л=Л+2/,/3.

Приведение рационально производить к сечениям, в которых располагаются тела с относительно большими моментами инерции. При продольных колебаниях все сказанное остается справедливым и для процедуры приведения масс.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >