Характеристики упругих элементов и их приведение

Важной характеристикой любого упругого элемента при продольных деформациях х является коэффициент жесткости с = dF/dx , где Т7- восстанавливающая сила, а при крутильных деформациях - с = |гШД/<р|, где М - восстанавливающий момент, ф - угловая деформация. В первом случае коэффициент жесткости имеет размерность Н/м, а во втором - Н • м. Обратную величину е = с-1 называют коэффициентом податливости.

На рис. 2.4, а представлены типичные графики восстанавливающей силы F(x), которым соответствуют графики с (.г), показанные на рис. 2.4, б. Очевидно, что для линейной характеристики с = F/x= const. Функция с(х) определяется материалом и конструктивными особенностями упругого элемента. Так например, в рабочем диапазоне напряжений металлы обычно подчиняются закону Гука (кривая /), в то время как для резины более свойственна «жесткая» характеристика (кривая 2), а для многих полимеров - «мягкая» (кривая 3). Однако в конструкциях, состоящих только из металлических деталей, также возможно возникновение нелинейных восстанавливающих

Рис. 2.4

сил. В частности, это наблюдается при точечном или линейном контактах двух поверхностей, что характерно для элементов высших кинематических пар. В подобных случаях контактная жесткость увеличивается с ростом нагрузок.

Помимо перечисленных причин нарушение линейной характеристики восстанавливающей силы может произойти из-за использования специально выбранных нелинейных упругих элементов (конических пружин, нелинейных муфт), подключения или отключения каких-либо элементов кинематической цепи, наличия зазоров в кинематических парах, установки упоров, фиксаторов и других факторов [1], [3], [9], [1*], [3*], [4*], [12*].

Нередко, однако, нелинейные факторы в общем балансе жесткостей оказываются малосущественными. Кроме того, при исследовании малых колебаний, происходящих в окрестности некоторого равновесного состояния системы х0, нелинейные упругие характеристики могут быть линеаризованы. Действительно, пусть х = х0+ Ах, где Ах отвечает малым колебаниям около положения х0 (см. рис. 2.4, а). Тогда, разлагая функцию F(x0 + Ах) в ряд Тейлора, имеем

Ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получаем

Это означает, что нелинейную характеристику в окрестности точки ЛГмы приближенно заменяем касательной в этой точке. Разумеется, чтобы такая замена была правомерной, необходимо, чтобы функция F(x) в окрестности точки N была бы непрерывной и дифференцируемой. 11ри нарушении этого условия упругие характеристики называют существенно нелинейными.

Заметим, что необходимость учета нелинейностей обычно связана с рассмотрением таких динамических процессов, при которых происходят значительные деформации упругих элементов, либо в тех случаях, когда целью исследования являются специфические эффекты, свойственные только нелинейным системам (см. гл. 8).

11риведение упругих характеристик, как правило, имеет своей целью упрощение модели, что позволяет воспользоваться известным решением задачи. Поставим, например, задачу приведения параллельно соединенных упругих элементов (рис. 2.5, а) к одному упругому элементу спр (рис. 2.5, б). Отличительным свойством параллельного соединения является равенство абсолютных значений деформаций: |дг,| = х2 =... = х„ = х.

При приведении не должен нарушаться баланс потенциальной энергии системы. Для одного элемента i при деформации х.

Рис. 2.5

восстанавливающая сила равна F. = -сх , что отвечает потенциальной энергии

Отсюда t а следовательно,

При последовательном соединении (рис. 2.5, в) имеем равенство абсолютных значений сил Ft = I/7! • Аналогичным образом получаем

гдевч>=с^;в

Заметим, что внешние признаки при установлении вида соединения иногда обманчивы. Так, например, соединение, показанное на рис. 2.5, г, можно ошибочно принять за последовательное; между тем, при любом перемещении массы т абсолютная деформация обоих упругих элементов одинакова, а следовательно, соединение является параллельным; при этом спр = с, + с2.

При параллельном соединении определяющую роль играют наиболее жесткие элементы, а при последовательном - наиболее податливые.

Иногда при приведении может измениться размерность коэффициента жесткости. Произведем, например, приведение упругих характеристик ременной передачи (рис. 2.5, Э) при переходе к расчетной схеме эквивалентного упругого вала, вращающегося с угловой скоростью ведомого шкива (рис. 2.5, е). Если коэффициент жесткости одной ветви ременной передачи равен су то, считая обе ветви натянутыми, можем определить потенциальную энергию как

где .г - деформация одной ветви ремня.

Далее введем в рассмотрение добавочный угол поворота второго вала Дф, соответствующий деформации х. Очевидно, что Аф = x/R.,, где R2 - радиус ведомого шкива, а поскольку V= сх* = 0,5с Аф2, окончательно имеем с = 2сЮ. Так как здесь имеет место переход от линейных деформаций к угловым, соответствующим образом изменилась размерность коэффициента жесткости с Н/м на Н • м.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >