Потенциальная энергия
В механизмах потенциальная энергия, участвующая в формировании колебательных процессов, возникает в основном от упругих деформаций элементов системы. При малых колебаниях в окрестности устойчивого положения равновесия потенциальная энергия может быть представлена в виде знакоположительной квадратичной формы обобщенных координат [9*]:
где cik=(d2V/dqidqk)" - квазиупругие коэффициенты (практическое определение см. ниже); ()° - отвечает qv ..., q}l = 0. Структура выражения (3.5) в раскрытом виде совпадаете (3.3), если заменить aik на cjk и qnqk на qjyqk.
Устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа-Дирихле
Выше при представлении потенциальной энергии в виде квадратичной формы мы использовали термин «устойчивость». Дадим некоторые пояснения в связи с этим понятием. Различают три состояния системы, проиллюстрированные на рис. 3.1. При устойчивом положении (рис. 3.1, a) отклонение от положения равновесия приводит к появлению восстанавливающей силы, направленной к этому положению; при неустойчивом (рис. 3.1,6) - возникает дестабилизирующая сила, стремящаяся увести систему от этого положения; при безразличном состоянии (рис. 3.1, в) отклонение не при-
Рис. 3.1
водит к возникновению каких-либо сил. Очевидно, что колебания возникают только около устойчивого равновесия, поэтому именно это состояние является характерным для вопросов, изучаемых в данном курсе.
Рис. 3.2
На первый взгляд кажется, что для суждения об устойчивости положения равновесия достаточно просто посмотреть на схему, как мы это сделали в приведенных примерах. Однако в общем случае ответ на этот вопрос не столь очевиден. Обратимся к модели обращенного маятника, безмассовый стержень которого зажат между упругими элементами (рис. 3.2). В данном случае визуальный анализ нс приводит к результату. В подобных случаях следует воспользоваться теоремой Лагранжа-Дирихле, которая устанавливает, что равновесие материальной системы, находящейся под действием консервативных сил, является устойчивым, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет минимум [9*].
Для рассматриваемой модели потенциальная энергия маятника при его отклонении от положения равновесия определяется как
где /? = /(l-cos
В окрестности положения равновесия
Тогда
При ф - 0 имеем Э У/Э<р = 0. Это свидетельствует о том, что данное положение отвечает равновесию. Однако для устойчивости этого положения согласно теореме Лагранжа-Дирихле следует обеспечить условие V(0) = Vmin; для этого необходимо, чтобы при
. Отсюда следует
Коэффициент с, можно трактовать как запас устойчивости. Следует ли всегда стремиться к увеличению запаса устойчивости? Однозначного ответа на этот вопрос нс существует, однако ясно одно: чем технически совершеннее система, тем ближе значение ? к его критическому значению с, = 1. Дело в том, что с ростом с, утрачивается мобильность системы, проявляющаяся в способности быстро реагировать на внешние возмущения. В этом легко убедиться, сопоставив, например, процесс ходьбы человека с перемещением жука.
