Определение собственных частот и форм изгибных колебаний системы с двумя степенями свободы

Согласно (3.17) система дифференциальных уравнений, описывающая изгибные колебания, имеет вид

Принимая у, = A sin (kt + а), у2 = В sin (kt + а), после выкладок, аналогичных проведенным в п. 4.4, получаем частотное уравнение

При этом зависимости, определяющие коэффициенты формы, имеют вид

Определение собственных частот и форм

колебаний систем

с конечным числом степеней свободы

Система уравнений (3.7) при свободных колебаниях имеет вид

где а, с - матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов; q - матрица-столбец (вектор) обобщенных координат.

Решение отыскивается в виде Asin (kt + а), где А - вектор амплитуд. После подстановки в (4.33)

При А * 0 должно удовлетворяться условие

Нередко при расчетах удобно воспользоваться приемом умножения (4.34) слева на а 1

где Е - единичная матрица; а 1 - обратная матрица.

Из теории матриц следует, что при нетривиальном решении А * 0 параметры ft*,...^являются собственными значениями матрицы а 'с, а коэффициенты формы - собственными векторами этой матрицы.

При использовании обратного способа составления систем дифференциальных уравнений (см. параграф 3.3) матричная форма этих уравнений имеет вид

Аналогичным образом получаем

В этом случае собственные значения матрицы cm - к 2Е равны к~'...,к'2, а собственный вектор определяет форму колебаний. Для определения собственных частот и форм колебаний этим способом имеются стандартные программы, реализуемые на ЭВМ.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >