Приближенное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами методом условного осциллятора

Для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами существуют различные приближенные аналитические методы, изложенные в специальной литературе. Здесь мы воспользуемся одним из них - методом условного осциллятора, хорошо приспособленным к решению задач динамики [21, [3], [7], [7*]. Заменой переменных преобразуем уравнение (7.9) таким образом, чтобы в нем отсутствовал член, содержащий первую производную координаты. С этой целью воспользуемся подстановкой

Тогда

После подстановки (7.10), (7.11) в (7.9) получаем

где k2=k2-n2-n (в задачах динамики механизмов обычно k2»n2 + n и k2 ~ k2).

Функцию k (t) удобно трактовать как переменную «собственную» частоту. Если k1 (t) - периодическая функция, то уравнение (7.12) называется уравнением типа Хилла, а при гармонической функции - уравнением Матье.

Согласно методу условного осциллятора решение уравнения (7.12) ищем в виде

При этом

Подставим (7.13) и (7.14) в (7.12) и уравняем коэффициенты при cos Ф и sin Ф в обеих частях равенства:

Здесь p(t) = с1Ф/(к.

Условие (7.15) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Отсюда

где D{) = D(0);po = р(0).

Подставляя (7.18) в (7.13) и возвращаясь с помощью (7.10) к исходной переменной q, получаем

где D0 и а определяются на основании начальных условий.

Связь между функцией р (t) и «собственной» частотой к {() определяется уравнением (7.16). При учете (7.18) придадим этому уравнению следующий вид, приняв z = In (р/р,), где р. - произвольный параметр с размерностью частоты, играющий роль нормирующего множителя:

Дифференциальное уравнение (7.20) соответствует некоторой фиктивной колебательной системе, названной условным осциллятором. Достаточно располагать частным решением этого уравнения, чтобы формула (7.19) превратилась в расчетную зависимость, описывающую колебательный процесс.

Подробный анализ уравнения условного осциллятора приведен в монографиях [2], [3]. Здесь мы лишь остановимся на нескольких частных случаях.

  • 1. Медленное изменение параметров. Изменение параметров полагают медленным, если их приращение на одном периоде колебаний мало по сравнению со средним значением на этом периоде. Количественным критерием для оценки медленности может служить условие D/Г) k2, что равносильно статическому приложению нагрузки в условном осцилляторе |z-0,5i2|«:2&2(?). При этом р=р,ег
  • 2. Пульсация «собственной» частоты около некоторого среднего значения. Линеаризуем уравнение (7.20), приняв е*г = 1 + 2z, что отвечает первым членам разложения в ряд Маклорена. Кроме того, примем k1 (t) =p?+f (0* где Р-2 теперь имеет смысл среднего значения квадрата «собственной» частоты. Тогда

Если при разложении в ряд Фурье функция /(/) содержит гармоникуji2, равную 2р., то Ы I—> °°, т. е. имеет место резонанс условного осциллятора (см. параграф 7.3).

Чтобы выяснить, какую опасность представляет собой резонанс условного осциллятора, необходимо исследовать переменный множитель, определяющий амплитуду в формуле (7.19):

Согласно (7.7) и (7.9) показатель экспоненциального множителя складывается из диссипативной и инерционной составляющих п = п0 + nv где я, = 0,5а/а.

Поскольку

то

Экстремальные значения этой функции уменьшаются, так как первый сомножитель - периодическая функция, а второй - бесконечно убывает.

Второй сомножитель формулы (7.22) может быть представлен как

где z - решение уравнения условного осциллятора.

При zmin—»-оо, что возможно при резонансе условного осциллятора, сомножитель (7.24) неограниченно возрастает. Если это возрастание не компенсируется влиянием диссипативной составляющей, то функция U, а следовательно, и амплитуда колебаний неограниченно возрастают. С позиций энергетического баланса поведение системы в конечном итоге определяется эффектом от поступления энергии за счет параметрического возмущения и оттоком энергии за счет сил сопротивления (подробнее см. параграф 7.3).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >