Резонансные колебания

Рассмотрим вынужденные колебания в системе с одной степенью свободы, описываемой дифференциальным уравнением

mq + cq = -R (#)| sign q + F{ sin со/ + F2 sin со/. (9.26)

Пусть частота со, равна собственной частоте k = yjc/m, а частота со2 существенно от нее отличается. Ниже частоту со, и вынужденные колебания с этой частотой д, = Л, sin (со/-у,) назовем основными, a ^ sin (со2^ — У2) “ дополнительными. Если бы диссипативная сила была бы линейной, как это, например, имеет место при вязком трении, задача решалась бы чрезвычайно просто с использованием принципа суперпозиции (см. параграф 5.8). Однако в данном случае из-за нелинейной природы диссипативной силы этот принцип не может быть использован.

После разделения движения на основное и дополнительное получаем следующие два модифицированные дифференциальные уравнения:

где (см. (9.25)), aQ - амплитуда кинематического возбуждения.

Поскольку частота со2 существенно отличается от резонансной, амплитуда вынужденных колебаний Л2 на з гой частоте практически не зависит от диссипации. При этом ~ со^о/|^2 — со^, а резонансная амплитуда Л,, найденная аналитическим способом, определяется как

где A = Fjc, z = Дсо,/(Л2со2).

Так как правая часть равенства также зависит от искомой величины Av выражение (9.28) является уравнением, которое приводится к следующему виду:

Здесь X ~ Л /Ло - коэффициент возрастания резонансной амплитуды; zQ = z(Aj0), где А|0 = пА./Х0 - известное значение резонансной амплитуды без учета корректирующего влияния дополнительных «чужих» колебаний.

Рис. 9.6

На рис. 9.6 приведен график функции Х(2о)> полученный на основании (9.23) и (9.29). Не сужая общности задачи, рассмотрим следующий эталонный пример.

Пусть т = 1 кг, с = 1Н/м, со, = 1 с"1, со9 = 5,3 с1, F, = 1 Н,

F2 = -mco22а00 = 0,5, f=^q при ? = 0,15 (рессорная характеристика). На рис. 9.7 приведены кривые, полученные компьютерным моделированием. При этом q(t) соответствует исходному дифференциальному уравнению (рис. 9.7, а, кривая 1), а #,(?) - модифицированному уравнению (рис. 9.7, б кривая 2). Кроме того, на обоих графиках приведены кривые3, отображающие вынужденные колебания с резонансной частотой при формальном использовании принципа суперпозиции. (Здесь, как и выше, этому случаю на графиках соответствуют кривые более темного оттенка).

Анализ приведенных графиков свидетельствует о том, что, во-первых, игнорирование нелинейной природы диссипативных сил может привести к существенной ошибке при оценке резонансной амплитуды. Так, в нашем примере Д° =|<7,°| =6,21, в

то время как |<7|тчх = 14,3. Во-вторых, имеет место удовлетворительное совпадение последнего результата с решением модифицированного дифференциального уравнения Л,=|<7,| =13,9.

Некоторые расхождения результатов в основном связаны с тем, что в функции q (t) отражен бигармонический характер возбуждения, а в функции <7,(0 - только колебания с резонансной частотой. Хорошее совпадение этих результатов, проверенное при варьировании параметров в широких пределах как при со2 > со,, так и при со2 < со,, подкрепляется также результатами аналитического решения на основании уравнения (4.29), причем расхождения обычно не превышают (10 -И5)%.

Рис. 9.7

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >