Уточненные условия динамической устойчивости при главном параметрическом резонансе

Пусть исходное дифференциальное уравнение, описывающее колебания при одновременном воздействии параметрического и силового возбуждения, имеет вид

где ?, ?2 - глубина пульсации и частота параметрического возбуждения.

Примем, что последнее условие отвечает

зоне главного параметрического резонанса. Используя изложенный выше метод, представим соответствующее модифицированное дифференциальное уравнения в форме

Таким образом, в уравнении (5.2) опущен член, отвечающий вынуждающей силе, при соответствующей коррекции диссипативной составляющей. Напомним, что при аналитическом решении задачи f — jixkXAA)Ф (z). В данном случае z = Ak/(Доз), где А, Ах - амплитуды колебаний с частотами к (параметрический резонанс) и со (вынужденные колебания).

Условия динамической устойчивости в зоне главного параметрического резонанса (7.28) приводятся к виду

где

Рассмотрим два случая.

Случай 1 (w = 0). В этом случае вынужденные колебания отсутствуют, поэтому z —>ооиФ—> 1, а следовательно, условие (5.3), (9.32) имеет вид Г}0 > 1.

Случай 2 (w Ф 0). Поскольку теперь Ф (z) < 1, область динамической неустойчивости расширяется. Поэтому условия, обеспечивающие динамическую устойчивость при отсутствии высокочастотного возбуждения, теперь могут оказаться нарушенными.

Для более наглядной иллюстрации поведения системы при совместном параметрическом и силовом возбуждении воспользуемся плоскостью параметров z - rQ или А - Т|0 (рис. 9.8).

В области 1 (ц0< 1) система всегда динамически неустойчива, независимо от воздействия дополнительного возбуждения, которое в данном случае проявляется лишь в росте интенсивности прирасгания амплитуды. Это наглядно видно на совмещенном графике q^(t) (верхний индекс 0 отвечает случаю /, которому на графиках отвечает более темный оттенок кривых). В области 2 система устойчива при w = 0 и r0 > 1 (случай 1) и неустойчива при w ф 0 и г|0< г,. Наконец, в области 3 (г|0> Л«) условия динамической устойчивости соблюдаются не зависимо от дополнительного возмущения.

Па плоскости параметров штриховыми линиями показаны три характерных случая изменения логарифмического декремента в зависимости от амплитуды. Если Х{) = const (прямая 1),

то в области 2 амплитуда растет, а в области 3 - убывает. Следовательно, амплитуда установившегося режима соответствует границе асимптотической устойчивости rj,. На графиках #,(?) и видно, что при w * 0 колебания выходят на

установившийся режим, а при w = 0 колебания быстро затухают. Аналогичный характер поведения системы имеет место при возрастающей функции (Л) (кривая 2).

Рис. 9.8

При убывающем характере изменения А,0 (А) возможны два случая. Если кривая 3 дважды пересекает кривую rt, то верхняя точка пересечения соответствует неустойчивому режиму, а нижняя - устойчивому. При отсутствии нижней точки пересечения, как это, например, имеет место при кулоновом трении, колебания при Г|0> Г|х полностью затухают —> 0).

Аналогичным образом при дополнительном возбуждении корректируется коэффициент рассеяния в условии существования субгармонического резонанса (8.32), а также при анализе автоколебаний. В частности, при определении критической скорости возбуждения фрикционных автоколебаний темерь следует принять во внимание уменьшение эффективных значений перепада сил трения покоя и движения и логарифмического декремента в соответствии с зависимостями (9.22). При этом зависимость (8.44), принимает следующий вид:

где , |/0- коэффициент рассеяния при

отсутствии дополнительных колебаний, т. е. при Ф (2) = 1.

При v0< v0~ возможно возбуждение фрикционных автоколебаний. Корректирующий множитель К(Ф) достигает максимального значения К. = К(Ф,), где Ф, = 1/(2|/0). Поскольку Ф (z) < 1, то при |/0< 0,5 функция К (Ф) является возрастающей. При у0> 0,5 и Ф < Ф. функция К (Ф) возрастает, а при Ф > Ф.- убывает.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >