«Собственные» частоты и нестационарные коэффициенты формы

Для пояснения методики решения обратимся к динамической модели привода, состоящего из главного вала и п идентичных исполнительных механизмов (см. рис. 10.2). Как было показано в параграфе 10.2, преобразование амплитудных значений и сил при переходе через блок j описывается уравнением (10.14), которому соответствуют следующие рекуррентные зависимости:

Напомним, что каждый блок j состоит из участка вала с коэффициентом крутильной жесткости с0. и некоторого условного диска, момент инерции которого J{) согласно (10.16) включает момент инерции входного звена J0 и дополнительное слагаемое, связанное с динамической жесткостью механизма j. При идентичных механизмах элементы матрицы Г(). не зависят от j, поэтому в дальнейшем примем Л{). = Л{), В(). = В0, С^ . = CQ, D0j = D0.

Формулы (10.29) можно рассматривать как линейную систему разностных уравнений, решение которой будем искать в форме a0j = ra0 = г|С2о ;_г Тогда на основании (10.29)

Исключая тривиальное нулевое решение, обратим определитель этой системы в нуль. Корин полученного таким образом квадратного характеристического уравнения, являющиеся собственными значениями матрицы перехода Го;, равны

где ^ = 0,5(Д + Д); . (Здесьучтено,что detr„.=l.)

Сумму элементов главной диагонали матрицы называют ее следом. Таким образом, ^ = 0,55/?Го;, где SpT0J - след матрицы перехода блока. В зависимости от значения rj могут представиться случаи ? < 1, ^ > 1, ?, < -1.

При ^ < 1 коэффициент при мнимой части 1шг| * 0. Тогда характеристические числа представляют собой взаимно сопряженные комплексные числа с модулем, равным единице. Принимая ^ = cosy, на основании (10.31) имеем

Так же, как и при решении линейных дифференциальных уравнений, в этом случае решение системы (10.29) описывается тригонометрическими функциями. При этом

Значения /?, и h2 определяются из граничных условий.

В параграфе 10.2 были рассмотрены четыре случая граничных условий. Анализ начнем с рассмотрения самого простого случая 1, когда а00 = 0, а0 п+1 = 0 («вход» и «выход» защемлены). Напомним, что термин «защемление» не следует понимать буквально. Как было показано в параграфе 4.8, если колебательная система имеет на «входе» или «выходе» элементы с сравнительно большими массами или моментами инерции, то соответствующие сечения в относительном движении (в данном случае при колебаниях) можно считать защемленными. Аналогичная ситуация возникает при принудительном движении этих сечений, что эквивалентно бесконечно большой жесткости. Принимая j = 0 и / = п + 1, имеем А, = 0 и sin (и + 1 )у = 0. Последнему условию соответствует

где г = 1- номер формы колебаний главного вала.

При этом частотное уравнение в общем виде может быть записано следующим образом:

Если в модели привода, показанного на рис. 10.2, заменить свободный конец заделкой, то при учете Л() = 1, D() = 1 -J^(j))p2 на основании (10.35) имеем

Сначала рассмотрим случай, когда J0* =J0 = const. При этом корни уравнения (10.36), соответствующие собственным частотам, определяются следующей зависимостью:

где

Форма колебаний г описывается зависимостью (10.33) при подстановке /?0 = 0, У = Y,., причем число форм главного вала п при этом совпадает с числом собственных частот.

При учете упругости механизмов функция Jq(p) описывается зависимостью (10.16). При этом (10.36) приводится к биквадратному уравнению относительнор, решение которого для фиксированного / дает два действительных корня рг{ и рлл > рг{). Теперь число «собственных» частот равно 2п и в два раза превышает число форм главного вала. Однако для системы в целом эти две группы форм различаются тем, что при рг = рг[ «вход» и «выход» механизмов колеблются в одной и той же фазе, а при ргл- в противофазах.

Граничным условиям модели, приведенной на рис. 10.2, отвечает случай 2 т = 0, Qo,, = 0). Граничное условие на «входе» согласно (10.33) снова предопределяет синусоидальный характер форм главного вала. При этом /?, = 0 и a0J = h2sin j. На основании первого уравнения системы (10.29) B0Q. = а^л- А0а.. Тогда при учете А0 = 1 после подстановки в (10.33) получаем B0Qt =h,[sin(n + Y)y-smny] = 0. Поскольку h2* 0, отсюда следует sin (п +1) у-sin пу=2 cos (п + 0,5)у sin 0,5у=0> что при учете у ^ 0 приводит к уравнению cos(/z+0,5)y = 0. Следовательно,

Частотное уравнение сохраняет вид (10.36), однако при другом значении уг, полученном в соответствии с зависимостью (10.38). При./0*=./0= const колебательная система имеет п степеней свободы. Собственные частоты находятся аналогично предыдущему случаю:

На рис. 10.3 для данного случая приведены графики рJр0 при п = 6 (кривая 1),п = 9 (кривая 2), п = 12 (кривая 3).

Рис. 10.3

Если каждый из механизмов схематизирован в виде колебательной системы с одной степенью свободы (см. формулу (10.16)), то для данного значения г, как и раньше, приводим (10.36) к виду биквадратного уравнения, решение которого дает два значения частоты. При этом число «собственных» частот равно числу степеней свободы 2п. Формулы (10.37), (10.39) устанавливают границы области существования спектра «собственных» частот, называемой нередко областью «пропускания». Так, например, из формулы (10.37) следует

а из формулы (10.39) -

В обоих случаях высшая собственная частота не превосходит значения 2р0. Подобные оценки весьма существенны для динамического синтеза приводов сложной структуры.

Приведенный анализ наглядно показал «могущество» аппарата исследования регулярных систем. Действительно, мы аналитическим путем определили спектр «собственных» частот для колебательной системы с любым конечным числом степеней свободы!

Выше мы рассмотрели наиболее распространенный случай, когда ? < 1. Такая ситуация имеет место почти на всем частотном диапазоне за исключением узких зон в окрестности J —»

В этих зонах имеет место повышенная плотность «собственных» частот, причем наряду со случаем ? < 1 встречаются случаи ?>1и?<-1. При ^ > 1 (Imrj = 0), принимая ? = chy и проведя аналогичные выкладки, получаем выражения, отличающиеся от приведенных выше лишь тем, что тригонометрические функции заменены одноименными гиперболическими. При ? < -1 (Imp = 0) условие ? = chy удовлетворяется лишь при . При этом имеем

Таким образом, следует принять chy,= причем теперь у0 - действительное число. На основании теоремы Муавра имеем ch yy=(-l)'ch // и sh /у=(-l)'sh jf. С учетом этих корректив справедливы зависимости для случая ^ > 1.

Итак, наряду с традиционным случаем, когда формы колебаний имеют обычный тригонометрический вид, на определенном частотном интервале (|^|>1) они описываются гиперболическими функциями. Применительно к модели привода (см. рис. 10.2) это приводит к тому, что имеет место своеобразное пространственное затухание колебаний, при котором амплитуда блоков К| убывает по мере приближения к заделке. Характерная особенность случая 2; < -1 состоит в том, что знак а . меняется при переходе через каждый блок.

Отметим, что современные методы компьютерного расчета, по сути, не ограничивают возможность реализации изложенного подхода для приводов кольцевой и разветвленно- кольцевой структуры, а также других сложных систем с повторяющимися блоками [3].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >