Анализ статистических характеристик и структуры временных рядов

Цель раздела: показать специфику анализа и структуры динамических рядов.

Вначале введем понятие динамического ряда. Назовем в общем случае динамическим рядом (рядом динамики) статистическую совокупность наблюдений изучаемого показателя Y, упорядоченную в соответствии с последовательно возрастающими (убывающими) значениями другого показателя (признака). Тогда под временным рядом (ВР) будем понимать динамический ряд, которому в качестве показателя упорядочивания поставлено время t. Символически это принято записывать в виде Yn t=1,п 1(см. табл. 7.3), где п — объем (продолжительность) наблюдений временного ряда, а отдельное наблюдение Yt — уровень временного ряда.

Процесс развития, наблюдаемый как движение во времени изучаемых маркетинговых показателей принято называть динамикой. В этом смысле термины динамический ряд и временной ряд полагаются эквивалентными.

Обратим внимание на качественное различие временных рядов и простых статистических выборок:

  • — близлежащие по времени уровни временного ряда взаимозависимы, тем более для близко расположенных наблюдений;
  • — с течением времени информационная ценность предыдущих наблюдений убывает;
  • — при увеличении числа уровней временного ряда точность статистических оценок не увеличивается пропорционально числу наблюдений;
  • — при изменении условий, в которых происходит развитие явления, происходит как ослабление воздействий одних факторов, так и усиление воздействий других, что сказывается на картине варьирования изучаемого показателя во времени.

Принципиальным отличием временного ряда К,т ={У12>-->Уп) от случайной выборки является неизменность порядка следования моментов времени t=1,п, тогда как индексы случайной выборки хь х2, ..., х„ — всего лишь удобное средство идентификации элементов выборки элементов совокупности.

Рассмотрим ряд требований, предъявляемых к временным рядам.

1. Уровни исследуемого временного ряда, прежде всего, должны удовлетворять таким требованиям, как сопоставимость, однородность, достаточная представительность (т.е. длина временного ряда п должна быть достаточно большой для проявления закономерности), а наблюденный отрезок временного ряда должен быть еще и устойчивым.

Нарушение хотя бы единственного из этих требований делает некорректным (а чаще вообще бессмысленным) применение какого бы то ни было математического аппарата. [1]

Так, сопоставимость соответствует требованиям соблюдения единой методики формирования всех уровней ВР, единой единицы измерения и постоянного временного интервала между всеми наблюдениями.

Однородность уровней временного ряда обеспечивается выполнением следующих требований. Не должно быть чрезмерных (слишком сильных) изломов тенденций и аномальных (нетипичных) значений уровней ВР. В связи с возможной сменой тенденций целесообразно исключать из рассмотрения отрезок временного ряда, содержащий закономерности прошлого развития — до излома тенденций. Для диагностики и коррекции аномальности наблюдения, которая проявляется как скачок либо резкий спад значения исследуемого показателя, применяется ряд формальных критериев.

Устойчивость уровней временного ряда проявляется как преобладание закономерности в развитии изучаемого показателя над случайными изменениями уровней ВР. Это качество временного ряда принято рассматривать либо а) как характеристику временного процесса противоположную варьированию (колеблемости) данных, либо б) как характеристику устойчивой направленности изменений. Соответственно этому предлагаются две количественных оценки показателя устойчивости.

Так, в случае (а) показатель устойчивости WY вычисляется по формуле

где VYотносительный показатель колеблемости, который по определению равен отношению

Здесь знаменатель Y — среднее значение показателя Yt, а числитель — среднеквадратическое отклонение показателя от линии тренда 7r(t) в момент t

где п — число уровней (длина) временного ряда, ар — число параметров уравнения тренда.

Легко понять что, показатель (7.3) характеризует близость фактических уровней к тренду.

В случае (б) устойчивость предстает как характеристика такого изменения последовательности временных значений показателя Yt, которое подчиняется условию ух < у2 < у3 < ... с уп (или же ух > у2 > у3 > ... > уп) устойчивого роста[2] (устойчивого снижения) уровней ВР. При выполне-

нии этих строгих неравенств говорят о полной устойчивости. Любое нарушение неравенств свидетельствует о неполной устойчивости развития временного ряда. При таком подходе количественным показателем устойчивости тенденции развития является, например, коэффициент Спирмена

где п — число наблюдений во временном ряду; dt — разность ранга уровня и номера периода времени. Очевидно, при этом имеет место соотношение |р| < 1. Чем явнее выражено хаотическое чередование подъемов и падений изучаемого процесса, тем ближе значение коэффициента корреляции рангов к нулю.

Требование полноты данных обусловлено тем, что для выявления закономерности необходимо наличие минимально допустимого объема данных. Для построения модели динамики временного ряда и последующего прогнозирования изучаемого процесса число наблюдений не должно содержать меньше 7—10 уровней.

2. В общем случае возникает вопрос о точности отображения непрерывных изменений показателя дискретным временнъш рядом. Она существенно зависит от выбора моментов, в которые проводятся измерения. Как правило, удобнее всего регистрировать показатель в равноотстоящие друг от друга моменты времени. Причем слишком большие интервалы между наблюдениями могут скрыть существенные закономерности в динамике изучаемого показателя, а слишком маленькие увеличивают объем вычислений.

Во всяком случае, временные интервалы выбираются в соответствии с интенсивностью изучаемых процессов. При большей вариации уровней во времени следует чаще делать замеры. И наоборот, стабильные процессы позволяют увеличить интервалы времени между наблюдениями. Так, регистрация курсов продажи/покупки валют осуществляется ежедневно, учет национального дохода и урожая проводится раз в год, а вот перепись населения целесообразно проводить один раз в десять лет.

3. Классификация уровней временного ряда по признаку формы

представления (по методу обработки значений показателя), прежде всего, выделяет временные ряды абсолютных значений экономических показателей и производные временные ряды. Последние получаются на основе рядов абсолютных значений показателя путем несложных вычислений.

Соответственно способу расчета производных показателей могут быть ряды средних или предельных значений показателя, относительных величин структуры, относительных величин координации, сравнения, интенсивности, а также временные ряды, построенные из относительных величин динамики (ряды коэффициентов и темпов роста

и относительного прироста, абсолютных значений одного процента прироста и т.д.).

Примерами рядов средних значений показателя могут быть временные ряды среднесуточной выработки продукции, среднегодовой численности рабочих на предприятии или показатели потребления основных продуктов питания на одного члена семьи. Индексы ежемесячной инфляции (в процентах к декабрю предыдущего года) дают представление о временных рядах относительных величин.

4. Классификация по способу упорядоченности численных показателей во времени различает моментные и интервальные временные ряды.

Временные ряды, уровни которых характеризуют экономический объект (процесс) по состоянию на конкретные моменты времени, являются моментными.

В качестве примеров моментных временных рядов можно назвать последовательность показателей численности населения или стоимости основных фондов, рассчитанные на одно и то же число каждого года; последовательные значения запаса какого-либо материала на начало периода или численности работающих на предприятии на начало каждого месяца и т.д.

Табличное представление моментного временного ряда абсолютных величин с равноотстоящими во времени уровнями иллюстрирует табл. 7.5.

Таблица 7.5

Дошкольные учреждения в регионах России (на конец года), тыс.

Годы

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Число дошкольных учреждений

87,9

87,6

82,0

78,3

72,8

68,6

Уровни этого ряда являются обобщенными итогами учета численности дошкольных учреждений по состоянию на определенную дату (например, на конец календарного года). Заметим, что в отдельных уровнях моментного временного ряда могут содержаться элементы повторного счета. Например, некоторые дошкольные учреждения, учтенные в 2010 г., являлись единицами совокупности и в 2015 г. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов.

К интервальным временньш рядам относятся ряды, уровни которых представляют собой накопленный или вновь произведенный за соответствующий интервал времени результат.

Примерами интервальных являются, например, ряды объемов ежемесячной продукции, выпускаемой в течение года (нескольких лет); число отработанных человеко-дней за учетные периоды; объемы перевозок по декадам, месяцам или кварталам; ежемесячные значения фонда заработной платы рабочих предприятия (см. табл. 7.6).

Важное аналитическое отличие интервальных рядов от моментных заключается в следующем. Вычисляя сумму уровней интервального ряда мы получаем реальный показатель, характеризующий, например, годовой выпуск продукции, общие затраты времени на усвоение семестрового курса маркетинговой аналитики, общий объем перевозок транспортной организацией за год и т.п. Что касается уровней моментного ряда, то хотя их сумма иногда и рассчитывается, однако реального содержания она зачастую не имеет.

Таблица 7.6

Фонд заработной платы работников фирмы, тыс. руб.

Дата

01—31

января

01—28

февраля

01—31

марта

01—30

апреля

Фонд заработной платы работников фирмы, тыс. руб.

37 107,9

38 207,6

39 482,0

41 478,3

Обратимся к количественным характеристикам развития экономических процессов

1. Статистические показатели динамики: анализ особенностей развития временных рядов. Традиционно для количественной оценки и описания динамики экономических явлений применяются статистические показатели скорости и интенсивности развития временного ряда. Они получаются в результате сравнения уровней ряда между собой. Соответственно способу сопоставления уровней вычисляют показатели динамики либо на постоянной, либо на переменной базах сравнения.

При расчете статистических показателей динамики на основе постоянной базы сравнения все уровни ряда последовательно сравнивается с одним и тем же уровнем, например, первым, который в этом случае называется базовым или базисным уровнем. Статистические показатели, рассчитанные таким образом, называются базисными (встречается также название базовые показатели).

При расчетах с переменной базой сравнения — каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим — получают так называемые цепные показатели динамики.

Для выяснения сущности важнейших статистических показателей динамики экономического явления рассмотрим соответствующие расчетные формулы, которые в целях лучшего обзора и сопоставимости сведены воедино в табл. 7.7.

Таблица 7.7

Уровни производных временных рядов

Окончание табл. 7.7

Пример 7.4. Рассчитаем цепные статистические показатели динамики вынужденного простоя рабочих (см. табл. 7.9).

Таблица 7.8

Статистика вынужденного простоя рабочих предприятия за I — IV кварталы (часы на 100 человек среднесписочного состава рабочих)

Показатели

I кв.

II кв.

III кв.

IV кв.

Итого за год

Число часов на 100 рабочих

39,8

49,6

55,5

64,7

Абсолютный прирост

+ 9,8

+ 5,9

+ 9,2

+24,9

Темп прироста

+24,6

+ 11,9

+ 16,6

+ 62,6

Темп роста

124,6

111,9

116,6

162,6

По данным табл. 7.8 абсолютный прирост цепной, например, для II кв. рассчитывается как 49,6 - 39,8 = +9,8.

Темп прироста (см. табл. 7.7) для этого же квартала: —-= 24,6%,

  • 39,8
  • 49 6x100

а соответствующий темп роста —— = 124,6% (см. табл. 7.9). [3]

2. Средние показатели в рядах динамики являются обобщающими показателями развития социально-экономических явлений. Так, средний уровень временного ряда характеризует обобщенный итог развития явления за определенный интервал из имеющейся временной последовательности. Способ вычисления этого показателя диктуется видом временного ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

В интервальных рядах динамики с одинаковыми интервалами времени средний уровень задан формулой простой средней арифметической

а в случае неравноотстоящих во времени уровней задан формулой взвешенной средней арифметической

Здесь п может быть общей длиной ВР или общим числом равных временных интервалов, каждому из которых соответствует свой уровень Yt, a At — интервалы различной длительности.

Для моментных временных рядов значение среднего уровня определяется характером изменения явления в пределах интервалов, разделяющих отдельные наблюдения. Так называемая средняя хронологическая для моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле

Пример 7.5. Рассмотрим на конкретном примере расчет среднего уровня моментного ряда динамики. Пусть товарные остатки магазина на первое число каждого месяца первого квартала составляют соответственно 16, 18, 22 и 14 тыс. руб. Тогда среднемесячный товарный остаток на I квартал составит

Для выявления изменений, которые происходят в явлении, порождающем данный временной ряд, вычисляют скорость развития анализируемого явления. Численное значение такой скорости задает абсолютный прирост за единицу времени AY -Yt - Ус_а. Очевидно, если рассчитать абсолютный прирост за все время наблюдения данного временного ряда, а затем разделить его на весь временной интервал наблюдения, то получится такой обобщающий показатель скорости изменения явления во времени, как средний абсолютный прирост — AY:

Для оценки относительной скорости изменения явления, изучаемого с помощью порожденного им временного ряда, применяются коэффициенты (темпы) прироста и роста. Аналогично обобщающему показателю скорости изменения явления, строится обобщающий показатель относительной скорости изменения в единицу времени (или интенсивности изменения) уровней временного ряда. Он вводится в рассмотрение на основе среднего темпа роста (коэффициента роста)

здесь использованы обозначения, принятые в табл. 7.7.

Необходимость применения такого показателя обусловлена существенными колебаниями темпов роста многих важных показателей на длительных интервалах времени, например, в несколько лет. Следуя формулам (7.10), средний темп роста можно рассчитать не только, как среднюю геометрическую из произведения темпов роста, но и как корень степени (п-1) из отношения уровня ряда динамики в конце периода к уровню в начале периода.

3. Автокорреляция. Как уже говорилось, близлежащие по времени уровни временного ряда являются взаимозависимыми, тем более для близко расположенных наблюдений. Здесь речь идет не о функциональной, а о статистической взаимосвязи. Теснота ее в общем случае оценивается коэффициентом взаимной корреляционной связи между рядами

и

образованными из одного и того же исходного временного ряда

смещением части ряда относительно первоначального положения на т моментов времени. Смещение т называется временнъш сдвигом, или лагом, а собственно наличие статистической взаимосвязи рядов (7.11) и (7.12) носит название автокорреляции. Как известно, математическая статистика и ее классические методы анализа разработаны для случая независимости отдельных членов ряда между собой. Поэтому анализ рядов динамики (7.11) и (7.12) сводится к установлению наличия и степени их взаимной корреляции. По результатам такого анализа можно будет судить не только о внутренней зависимости уровней ряда (7.13), но и о его внутренней структуре по так называемой автокорреляционной функции (АКФ)1:

гдет = 0,(п-2), а г=1,п прит = 0.

Наибольшее значение коэффициента автокорреляции соответствует статистической тесноте связи между последующими и предыдущими уровнями ВР.

Практическая работа с этой формулой сводится к вычислению нескольких — в количестве от п/4 до п/3 — коэффициентов автокорреляции низшего порядка и последующей статистической проверке, при каких лагах вычисленные коэффициенты статистически значимы. Иными словами, для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции данного порядка в исследуемом ряду динамики рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции сравниваются с соответствующими табличными (говорят «критическими») значениями для 5%-го или 1%-го уровня значимости, т.е. вероятности ошибки, допущенной при проверке нулевой гипотезы о независимости уровней ВР (см. табл. 7.9). Только лаги, являющиеся статистически значимыми, оставляются в модели.

Таблица 7.9

5%-й и 1%-й уровни вероятности коэффициента автокорреляции

Объем

выборки

Положительные значения

Отрицательные значения

5%-й уровень

1%-й уровень

5%-й уровень

1%-й уровень

5

0,253

0,297

-0,753

-0,798

6

0,345

0,447

-0,708

-0,863

7

0,370

0,510

-0,674

-0,799

8

0,371

0,531

-0,625

-0,764

9

0,366

0,533

-0,593

-0,737

10

0,360

0,525

-0,564

-0,705

11

0,353

0,515

-0,539

-0,679

12

0,348

0,505

-0,516

-0,655

13

0,341

0,495

-0,497

-0,634

14

0,335

0,489

-0,479

-0,615

1 Прификсированном т формулу (7.14) часто называют нециклическим коэффициентом автокорреляции.

Окончание табл. 7.9

Объем

выборки

Положительные значения

Отрицательные значения

5%-й уровень

1%-й уровень

5%-й уровень

1%-й уровень

15

0,328

0,475

-0,462

-0,597

20

0,299

0,432

-0,399

-0,524

  • [1] Принято вместо записи t= 1, 2, ..., п использовать такую же по смыслу свернутуюзапись t = l,n.
  • [2] 2 Иными словами каждое последующее значение уровня ВР больше (меньше) всехпредшествующих.
  • [3] Дополнительно к ссылке (25) заметим, что материал, излагаемый в этом разделеи ниже, был написан специально для Компьютерной обучающей программы КОПРЗ-ЭММ (см. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 2250: Компьютернаяобучающая программа для студентов 3-го курса по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели» (КОПРЗ-ЭММ). Дата регистрации 19.12.2002 г. / A. Н. Романов, В. С. Торопцов, Д. Б. Григорович, Л. А. Галкина, Н. И. Лобова, М. В. Михайленко, В. А. Половников, В. Я. Габескерия, Н. Б. Кобелев, А. И. Пилипенко, И. А. Орлова, B. В. Федосеев — Министерство образования Российской Федерации. Государственныйкоординационный центр информационных технологий. Отраслевой фонд Алгоритмови программ. (Пилипенко А. И. Временные ряды «Тема 5», «Тема 6»). Кроме того в учебнометодическом издании Пилипенко А. И. Эконометрика : учеб.-метод. комплекс. — М. :АТиСО, 2008. — 135 с. (раздел Временные ряды).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >