Пружинный и математический маятник

Примерами гармонических колебаний служат колебания пружинного и математического маятников.

Пружинный маятник — тело массой т, колеблющееся на упругой пружине (рис. 5.5) и совершающее гармонические колебания под воздействием упругой силы:

где к — жесткость пружины.

Рис. 5.5

Закон движения пружинного маятника:

где а — угол отклонения маятника от положения равновесия; а₀ — амплитуда колебаний (максимальное значение угла отклонения).

При последовательном соединении пружин (рис. 5.5, б) общий коэффициент жесткости

При параллельном соединении пружин общий коэффициент жесткости (рис. 5.5, в)

Круговая (циклическая) частота:

Кинетическая энергия пружинного маятника:

Потенциальная энергия пружинного маятника:

Полная энергия пружинного маятника:

На рис. 5.6, а представлен график зависимости потенциальной энергии Е_п пружинного маятника от деформации х, где Е — полная энергия (прямая горизонтальная линия), кинетическая Е_к и потенциальная Е_п энергии заданы соответствующими отрезками ординат. Из рисунка следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия маятника возрастает, кинетическая — уменьшается (и наоборот). В отсутствие трения полная энергия тела сохраняется (Е = Е_к + Е_и) при любых значениях х < х_тах = |А|.

Графические зависимости кинетической Е_к, потенциальной Е_п и полной энергий Е упругой деформации тел от времени t показаны на рис. 5.6, б.

Рис. 5.6

Математический маятник — материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной I и колеблющаяся под действием силы тяжести (рис. 5.7).

Круговая (циклическая) частота:

Период и частота колебания математического маятника:

ГГ i/7

Т-2п — (формула Гюйгенса); v = — —.

]/g 2к l

Если маятник движется вниз с ускорением а (или вверх с замедлением а), его период

Если маятник движется вверх с ускорением а (или вниз с замедлением а), его период

Если маятник движется с ускорением а в горизонтальном направлении, его период

Кинетическая энергия математического маятника:

Потенциальная энергия математического маятника:

Превращение энергии при гармонических колебаниях происходит в соответствии с законом сохранения энергии в консервативной системе:

При движении пружинного маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается (см. рис. 5.6, а). Когда маятник проходит положение равновесия (? = 0), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника максимальна и равна полной энергии. В состоянии максимального отклонения от положения равновесия скорость маятника равна нулю, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия, а потенциальная — максимальна и равна полной энергии. Следовательно, в момент максимального отклонения и когда маятник проходит положение равновесия имеет место:

Приведенные сведения об энергии колебаний пружинного маятника имеют общее значение и справедливы для свободных гармонических незатухающих колебаний в любой колебательной системе.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней, периодически действующей силы.

Вынужденные колебания совершают, например, игла швейной машины, нож электробритвы, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и др.

Вынуждающая сила — сила, вызывающая вынужденные колебания.

Если вынуждающая сила меняется гармонически по закону F = F_maxcos(ot (F_max — амплитуда вынуждающей силы, со — ее циклическая частота), то в колебательной системе, на которую действует эта сила, через определенное время (соответствует переходному режиму) устанавливаются гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте со вынуждающей силы (рис. 5.8).

Уравнение вынужденных колебаний:

где А — амплитуда вынужденных колебаний; ю₀ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний системы; ср₀ — разность фаз между смещением х и вынуждающей силой F. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний:

где F_max — амплитуда вынуждающей силы; т — масса колеблющейся системы; со — циклическая частота внешней силы; г —

г

коэффициент сопротивления; (3 =--коэффициент затуха-

2т

ния.

Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса.

Рис. 5.8

Разность фаз между смещением и вынуждающей силой:

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте ш₀ колебаний системы. Соответственно величина а>_рсз называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А от оз — резонансными кривыми (рис. 5.9).

Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда:

Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе (Р —*? 0). На практике амплитуда А в точке со₀ конечна за счет сопротивления среды (р| > р2 > Ро), поэтому с ростом резонансная частота сдвигается в сторону меньших частот, а резонансная амплитуда — понижается (А_рез1 < А_рез2 < До)- Явление резонанса может быть причиной разрушения мостов, зданий, самолетов, двигателей в автомобилях и т. п.

Автоколебательная система — колебательная система, совершающая незатухающие колебания за счет действия источника энергии, не обладающая колебательными свойствами. Примерами такой системы являются часы с анкерным ходом, двигатели внутренних сгораний, генераторы незатухающих электрических колебаний и т. п.