ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННО- ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Основные понятия

Алгебра логики — один из разделов математической логики. Ее создателем является англичанин Джорж Буль (1815—1864), поэтому алгебру логики называют булевой алгеброй.

Начальным понятием булевой алгебры является высказывание.

Высказывание — это некоторое предложение, о котором можно утверждать, истинно оно или ложно. Высказывание обозначают буквой (идентификатором). Если высказывание истинно, то его обозначают единицей, если ложно — нулем.

Например, два высказывания:

Х{ = < Москва — столица России >, значит Хх = 1 — истина

Х'2 = < Луна больше Земли >, значит Х2 = 0 — ложь.

Логическая переменная — некоторая переменная величина X, которая может принимать одно из двух значений — 0 или 1, т.е. быть ложной или истинной, X = {0,1}.

Логическая функция (булева функция, переключательная функция, функция алгебры логики) п переменных — это функция, которая может принимать одно из двух значений (0 или 1) на некотором наборе этих переменных, F (Xv Х2п) = {0,1}.

Логическая функция задается таблицей истинности.

Таблица истинности — это совокупность всех возможных наборов (комбинаций) логических переменных и значений функции на этих наборах. Например, логические функции одной переменной п = 1 — тривиальные функции (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Логические функции одной переменной

F

X

Название функции

0

1

0

0

Const «0» — абсолютно ложная функция

Окончание табл. 1.1

F

X

Название функции

0

1

h

0

1

Переменная «икс» — тождественная функция

h

1

0

«Не “икс”» — отрицание «икс» — инверсия «икс»

h

1

1

Const «1» — абсолютно истинная функция

Реализация этих функций показана на рис. 1.1.

Реализация функций одной переменной

Рис. 1.1. Реализация функций одной переменной

Функция Fj всегда ложна (рис. 1.1, а), функция F2 есть сама переменная «икс» (рис. 1.1, б), функция F3 реализуется инвертором (рис. 1.1, в), функция Fa всегда истинна (рис. 1.1, г).

В общем случае, если имеем п независимых логических переменных, то можно составить 2п = N наборов этих переменных, а так как на каждом из наборов функция может принимать значение О или 1, то общее возможное число функций равно L = 2N. Так, при п = 1 число наборов N- 2, а число функций 1 = 4.

Рассмотрим логические функции двух переменных п-2. Они относятся к элементарным функциям. Число наборов переменных равно N = 22 = 4, а число функций L =16.

На практике имеют простую техническую реализацию и используются не все элементарные функции, а только основные (базисные) функции. Рассмотрим их.

1. Логическое умножение, операция «И» — конъюнкция. Выполняется элементом-конъюнктором (рис. 1.2).

Конъюнктор

Рис. 1.2. Конъюнктор

Его таблица истинности представлена ниже:

№ п/п

X

а

ь

У

0

0

0

0

I

0

1

0

2

1

0

0

3

1

1

1

2. Операция Шеффера «И-НЕ» — отрицание конъюнкции. Выполняется элементом Шеффера (рис. 1.3).

Элемент Шеффера

Рис. 1.3. Элемент Шеффера

Его таблица истинности:

№ п/п

X

а

ь

У

0

0

0

1

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

0

3. Логическое сложение, операция «ИЛИ» — дизъюнкция. Выполняется элементом-дизъюнктором (рис. 1.4).

Дизъюнктор

Рис. 1.4. Дизъюнктор

Его таблица истинности:

№ п/п

X

а

ь

У

0

0

0

0

1

0

1

1

№ п/п

X

а

ь

У

2

1

0

1

3

1

1

1

4. Операция Пирса — отрицание дизъюнкции. Логическое «ИЛИ-HE». Выполняется элементом Пирса (рис. 1.5).

Элемент Пирса

Рис. 1.5. Элемент Пирса

Его таблица истинности:

№ п/п

X

а

ь

У

0

0

0

1

1

0

1

0

2

1

0

0

3

1

1

0

5. Логическая неравнозначность или сумма по модулю два — М2. Выполняется сумматором по «модулю два» (рис. 1.6). Функция истинна на тех наборах, где число единиц нечетно.

Сумматор по модулю два

Рис. 1.6. Сумматор по модулю два

Его таблица истинности дана ниже:

№ п/п

X

а

1)

У

0

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

0

Вместе с тем, в литературе встречается функция, так называемая исключающее ИЛИ, которая истинна на тех наборах, где присутствует исключительно одна единица. Операция выполняется элементом «исключающее ИЛИ» (рис. 1.7).

Элемент «исключающее ИЛИ»

Рис. 1.7. Элемент «исключающее ИЛИ»

Его таблица истинности:

№ п/п

а

Ъ

У

0

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

0

Очевидно, что таблицы истинности совпадают. Значит, для двух переменных функции М2 и =1 — эквивалентны.

Составим таблицу истинности этих функций при числе переменных п = 3:

№ п/п

а

b

с

М2

=1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

2

0

1

0

1

1

3

0

1

1

0

0

4

1

0

0

1

1

5

1

0

1

0

0

6

1

1

0

0

0

7

1

1

1

1

0

Видно, что они различаются в последнем наборе. При большем числе переменных это различие возрастает, поэтому функции М2 и =1 нельзя отождествлять.

Графическое изображение и условное обозначение логических элементов регламентируются ГОСТ 2.743—91 ЕСКД. Этот ГОСТ устанавливает следующие геометрические размеры (рис. 1.8).

Условное изображение логических элементов

Рис. 1.8. Условное изображение логических элементов

Других ограничений на размеры логических элементов ГОСТ не накладывает.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >