Единицы измерения мгновенной, активной, полной и реактивной мощностей
Хотя размерности мгновенной, активной, полной и реактивной мощностей одинаковы, единицам их измерения даны различные названия.
Единица измерения мгновенной и активной мощностей называется ватт:
Единица измерения полной мощности называется вольт-ампер:
Единица измерения реактивной мощности называется вольт-ампер реактивный:
Условие передачи наибольшей активной мощности от активного двухполюсника к пассивному в синусоидальном режиме
Рассмотрим достаточно общий случай, когда к зажимам активного двухполюсника подключен пассивный (рис. 4.6, а). Активный двухполюсник является источником электрической энергии, а пассивный — потребителем, или нагрузкой.
Решим следующую задачу. Считая параметры активного двухполюсника заданными и неизменными, определим величину комплексного входного сопротивления пассивного двухполюсника, при которой от источника в нагрузку передается наибольшая активная мощность (обозначаем ее Рн).
Получим выражение, связывающее Рп с параметрами источника и нагрузки. С этой целью представим активный и пассивный двухполюсники
Рис. 4.6. К условию передачи наибольшей активной мощности от активного двухполюсника к пассивному:
а — общее изображение случая, когда нагрузкой активного двухполюсника является пассивный двухполюсник; б — эквивалентная схема после замены активного и пассивного двухполюсников их простейшими схемами замещения простейшими схемами замещения. По теореме об эквивалентном генераторе активный двухполюсник заменяем источником ЭДС величиной Uxx (комплекс напряжения на разомкнутых зажимах активного двухполюсника) и включенным последовательно комплексным сопротивлением Znx (входное сопротивление активного двухполюсника).
Пассивный двухполюсник заменяем эквивалентным ему входным сопротивлением, обозначим его ZH. После указанной замены приходим к не- разветвленной цепи (рис. 4.6, б), в которой протекает ток /н, равный току на входе пассивного двухполюсника исходной схемы. Для определенности полагаем, что указанные на схемах и фигурирующие в расчетах комплексы являются комплексами действующего значения.
Из эквивалентной схемы на рис. 4.6, б ток /|( определяется по закону Ома:
С учетом алгебраической формы записи комплексов ZBX = RBX + jXBX и ZH = RH + jXu уравнение (4.8) принимает вид
Из комплексного уравнения (4.9) следует уравнение для модулей
Активная мощность, потребляемая нагрузкой, выделяется только на резистивной составляющей, т.е. Рн = I*Rn. С учетом формулы (4.10) для Рп получаем выражение
Уравнение (4.11) связывает активную мощность нагрузки с параметрами источника и нагрузки.
По условию задачи величины t/xx, RBX и Хвх (параметры источника) считаем неизменными. Параметры нагрузки RH и Хн могут изменяться.
Проведем исследование соотношения (4.11) и выясним, при каких величинах Ru и Хп пассивный двухполюсник потребляет от источника наибольшую мощность.
Разбиваем исследование соотношения (4.11) на два этапа.
1. Считая RH неизменным и заданным, найдем величину реактивной составляющей Хн, при которой соотношение (4.11) достигает максимума. Данное требование равносильно требованию минимума выражения, стоящего в его знаменателе: (/?вх + RJ2 + (Хвх + Хи)2.
В записанной сумме оба слагаемых не могут быть отрицательными, ее минимум достигается только при (Хвх + Хн) = 0. Из этого уравнения следует условие для реактивной составляющей сопротивления нагрузки, необходимое для обеспечения наибольшей активной мощности в нагрузке при фиксированном значении Ru:
При выполнении равенства (4.12) активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна
2. Исследуем выражение (4.13) на экстремум при изменении величины Ru:
Из последнего уравнения следует
Таким образом, наибольшая активная мощность в нагрузке активного двухполюсника обеспечивается при выполнении двух условий (4.12) и (4.14):
- • реактивная составляющая сопротивления нагрузки равна по величине, но противоположна по знаку реактивной составляющей внутреннего сопротивления источника;
- • резистивная составляющая сопротивления нагрузки равна резистивной составляющей внутреннего сопротивления источника.
Два вещественных условия (4.12) и (4.14) можно объединить в одно уравнение для комплексов: ZH = Ru + jXn = RBX -jXnx = Z*x, где Z*x — комплекс, сопряженный с комплексом Znx.
Вывод. Для передачи наибольшей мощности от активного двухполюсника в нагрузку сопротивление нагрузки должно быть комплексно сопряжено с входным сопротивлением активного двухполюсника:
При выполнении условия (4.15) мощность, передаваемая в нагрузку, в соответствии с выражением (4.11) равна
Поскольку RliX = Ruy на внутреннем резистивном сопротивлении источника выделяется точно такая же мощность. Поэтому коэффициент полезного действия передачи энергии в рассматриваемом режиме равен 50%.
Режим, при котором от источника в нагрузку передается наибольшая из возможных мощность, называется согласованным. Процесс обеспечения условия (4.15) называют согласованием.
Обратим внимание, что соотношение (4.15) равносильно условию резонанса в неразветвленном контуре эквивалентной цепи, показанной на рис. 4.6, б.
Пример 4.1. Для цепи, изображенной на рис. 4.7 (символическая модель), заданы: действующее значение тока синусоидального источника /к= 5 А, его частота со = 2000 рад/с; Я, = Д = 100 Ом; С = 5• 10'6 Ф.
Требуется: 1) подобрать величины активной RH и реактивной Хн составляющих комплексного сопротивления нагрузки, при которых происходит отбор наибольшей мощности в нагрузку; 2) определить мощность нагрузки в согласованном режиме Рн тах; 3) найти показание амперметра, измеряющего действующее значение.
Рис. 4.7. Схема к примеру 4.1, иллюстрирующему методику подбора параметров нагрузки с целью передачи наибольшей активной мощности в нагрузку
Решение
1. Расчет ZH = Rn + jXn. Для получения в нагрузке наибольшей активной мощности сопротивление нагрузки должно быть комплексно сопряжено с входным сопротивлением активного двухполюсника, подключенного к нагрузке. Активный двухполюсник (см. рис. 4.7) но отношению к зажимам «а», «б» обладает сопротивлением
Следовательно, ZH = Rn +jXn = Z*x = 100 + jlOO Ом.
Полученное комплексное сопротивление ZH можно реализовать последовательным соединением резистора RH = 100 Ом и индуктивности LH, определяемой из соотношения соЬн = Хп =100 Ом; LH = 0,05 Гн.
2. Расчет максимальной мощности Ри тах. Рассмотрим активный двухполюсник на рис. 4.7 в режиме холостого хода его зажимов «а», «б» (обрываем нагрузочную ветвь).
Напряжение на разомкнутых зажимах «а», «б» вызвано протеканием тока /к через элементы R, С. Поэтому
Для определенности примем начальную фазу тока источника равной нулю, тогда его комплекс равен /к = 5eJl) А, а для комплекса напряжения холостого хода в этом случае получаем такой результат:
Модуль этого комплекса равен действующему значению напряжения холостого хода
Активную мощность в нагрузке вычисляем по формуле
3. Показание амперметра. Амперметр в цепи на рис. 4.7 измеряет действующее значение тока нагрузки /и. Его комплекс равен
Амперметр показывает модуль найденного комплекса: Л —? 2,5^2 А.
