Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОНИКА И СХЕМОТЕХНИКА
Посмотреть оригинал

Теорема разложения

Поскольку система операторных уравнений Кирхгофа для линейной цепи является системой алгебраических уравнений, ее решение относительно изображений токов ветвей и напряжений на участках имеет вид отношения двух алгебраических многочленов:

Для того чтобы при переходе от операторного выражения (9.10) к оригиналу воспользоваться таблицами соответствия, необходимо представить его в виде суммы слагаемых табличного вида. Эту задачу решает теорема разложения [4]. Приведем вариант формул теоремы разложения для случая отсутствия кратных корней у многочлена F2(p), стоящего в знаменателе формулы (9.10). Он соответствует подавляющему большинству задач по расчету переходных процессов в линейных электрических цепях [4].

Поскольку F2(p) является многочленом п-й степени, его корни обозначаем рх, р2, ..., рк, ..., рп. Если величины pv р.р ..., рп различны, то выражение

(9.10) можно представить следующей суммой:

Коэффициенты Av А2, ..., Ak,..., Ап в сумме (9.11) вычисляются по формуле

где Ft(pk) — значение многочлена Ft(p), стоящего в числителе формулы (9.10), при р = рк F'2(pk) = dF2(p)/dp — значение первой производной но

переменной величине р от многочлена F2(p) при р = рк.

А

Каждому слагаемому вида ^ _к^ изображения (9.11) во временной области соответствует экспонента АкеРк‘. Поэтому в рассматриваемом случае изображению Fl(p)/F2(p) соответствует оригинал, представляющий собой сумму экспонент:

Среди различных корней pv р2, ..., рп может быть один нулевой корень, а также пары комплексно-сопряженных корней. Поэтому формула (9.13) годится для широкого класса задач по расчету переходных процессов. Формула разложения для случая кратных корней многочлена F2(p) ввиду своей громоздкости здесь не приводится.

Пример 9.3. В цепи, изображенной на рис. 9.6, а, в момент t = 0 параллельно ветви R2L подключается заряженный до напряжения ис(0 ) = 20 В конденсатор. Параметры цепи заданы следующими: Е = const = 60 В; Я, = 400 Ом; R2 = 800 Ом; L = 0,2 Гн; С= 2,5 -10_6 Ф.

Определить законы изменения напряжения па конденсаторе uc(t) и тока i3(t) в переходном режиме.

К примеру 9.3

Рис. 9.6. К примеру 9.3:

а — заданная цепь; 6 — операторная модель после замыкания ключа; в — графики зависимостей uc(t) и i3(t)

Решение

1. Согласно условиям задачи до коммутации через индуктивность протекал постоянный ток, поэтому

2. Операторная схема замещения цени, изображенной на рис. 9.6, а, представлена на рис. 9.6, 6. Она содержит три операторных источника ЭДС. Кроме ЭДС Е/р, изображающей источник постоянной ЭДС Е, на рис. 9.6, б присутствуют две операторные ЭДС за счет ненулевых начальных значений тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе, а именно:

3. Расчет операторной модели, изображенной на рис. 9.6, б, проведем относительно изображения напряжения на конденсаторе ?/с(р). Оно равно разности операторных потенциалов точек «а» и «б» схемы на рис. 9.6, б:

Изображение U.x6(p) для цепи, представленной на рис. 9.6, б, удобно определить методом узловых потенциалов. Принимаем операторный потенциал узла «б» (рв(р) равным нулю, тогда для узла «а» по методу узловых потенциалов можем записать уравнение

В уравнении (9.14) операторные проводимости ветвей F,(/)), Y2(j>), Y3(p) обратны их операторным сопротивлениям:

Из уравнения (9.14) выражаем операторный потенциал узла «а» сра(р). Он равен искомому изображению U.d6(p):

После подстановки числовых значений параметров для ?/а6(р) получаем

4. Переход от изображения (9.15) к оригиналу проведем с помощью теоремы разложения, поскольку оно представляет собой отношение двух алгебраических многочленов:

где F{(p) = 4 • 10 V + 24р + 48 • 103; F2(p) = 0,2 • 10 3р3 + р2 + 1200р.

Предварительно решаем уравнение F2(p) = 0, находим его корни: р0 = 0; р, = = -2000; р2 = -3000.

Таким образом, мы имеем дело со случаем различных корней многочлена знаменателя в изображении вида (9.10) и можем воспользоваться формулой

(9.11) теоремы разложения.

Поскольку уравнение F2(p) имеет три корня, оригинал изображения (9.15) содержит три слагаемых. В соответствии с формулой (9.11)

С целью получения численного результата для иаб(?) выполняем следующие расчеты:

Найденные числовые величины подставляем в выражение (9.16):

Таким образом, для искомых функций времени получаем

Качественные графики функции uc(t) и i3(t) по полученным выражениям приведены на рис. 9.6, в.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы