Применение интеграла Дюамеля при расчете реакции линейной цепи на непрерывное и кусочно-непрерывное воздействия

Расчет реакции линейной цепи на непрерывное воздействие

Рассмотрим случай, когда на входе линейного пассивного двухполюсника начиная с момента времени t = 0 создается напряжение wBX(f), изменяющееся по некоторому непрерывному закону (рис. 10.4, б). Для определенности решим задачу по расчету тока в одной из ветвей заданного двухполюсника, например на его входе (КО на Рис- Ю.4, а). Соответствующую переходную функцию h(0 = g(0 считаем известной.

Воспользуемся разработанным в математике приемом: заменим непрерывную кривую ивх(0 ступенчатой, как показано на рис. 10.4, б. Если число ступеней стремится к бесконечности, а временной интервал между ними стремится к нулю, ступенчатая кривая совпадает с непрерывной.

К методике расчета переходного процесса в пассивной цепи при непрерывно изменяющемся воздействии

Рис. 10.4. К методике расчета переходного процесса в пассивной цепи при непрерывно изменяющемся воздействии:

а — общее изображение пассивного двухполюсника, на входе которого внешним источником задается напряжение мвх(?); б — непрерывно изменяющееся входное напряжение можно приближенно заменить ступенчатой кривой

Введем следующие обозначения:

  • • т — момент возникновения элементарной ступени;
  • (1т — интервал времени между двумя соседними ступенями;
  • ивх(т) — производная по времени от функции входного напряжения при t = т (равна тангенсу угла наклона касательной к функции ивх(?) при t = x).

В принятых обозначениях произведение и'ах(т)с1т — величина элементарного скачка.

Реакция рассматриваемой пассивной цепи на такое элементарное воздействие при известной переходной характеристике h(t) может быть записана в виде

где учтено, что элементарный скачок происходит в момент t = х, следовательно, и реакция запаздывает на время х относительно начала отсчета времени. Просуммируем элементарные реакции вида (10.1) на все воздействия, которые имели место вплоть до рассматриваемого момента времени t, т.е. для всех х, не превышающих t. За исключением реакции на первоначальный скачок г/вх(0) такая сумма определяется интегральным выражением, а именно

Полученное выражение (10.2) принято называть интегралом Дюамеля.

Следует обратить внимание, что в подынтегральную функцию (10.2) время t входит в качестве параметра. Само интегрирование ведется по переменной х. В математике подобная операция называется сверткой двух функций uBX(t) и h(t).

Формула (10.2) распространяется на общий случай расчета реакции пассивной цепи хвых(1) на произвольное, непрерывно изменяющееся воздействие .гвх(?), а именно

Пример 10.2. На вход RL-цепи (рис. 10.5, а) подается экспоненциальный импульс напряжения unx(t) = 40с 1000' (В) (рис. 10.5, б). Определить закон изменения напряжения на индуктивности uL{t), если R = 100 Ом; L = 50* 10 3 Гн.

К примеру 10.2 (расчет переходного процесса в последовательной /JL-цепи при подаче на ее вход экспоненциального напряжения)

Рис. 105. К примеру 10.2 (расчет переходного процесса в последовательной /JL-цепи при подаче на ее вход экспоненциального напряжения):

а — заданная цепь; бграфик uHX(t)

Решение

1. Расчет переходной характеристики заданной цепи ведем но схеме, изображенной на рис. 10.6, я, операторным методом. Пользуемся операторной моделью, представленной на рис. 10.6, б, согласно которой изображение напряжения на индуктивности равно

Оригинал полученного изображения uL0(t) = е 200°'(В).

Искомая переходная характеристика численно совпадает с найденной функцией uw(t). Ее размерность равна отношению размерности самой функции uL0(t) (В) к размерности входного воздействия Е{) (В). Следовательно, функция h(t) безразмерна: h(t) = e~2000t.

К решению примера 10.2. Расчет переходной функции цепи, изображенной на рис. 10.5, а

Рис. 10.6. К решению примера 10.2. Расчет переходной функции цепи, изображенной на рис. 10.5, а:

а — схема, обеспечивающая единичный скачок напряжения на входе; б — ее операторная модель

2. Реакция на заданное экспоненциальное воздействие находится по формуле интеграла Дюамеля (10.2).

Вычислим каждое из слагаемых, входящих в (10.2).

По условию мвх(0) = 40 В — скачок конечной величины при t = 0. Поэтому первое слагаемое в (10.2) равно

Для вычисления интегрального слагаемого в соотношении (10.2) предварительно найдем функцию и'х(т) путем дифференцирования но времени заданного входного напряжения:

Тогда с учетом найденной величины г/^х(т), а также численного выражения функции h(t) имеем

Выражение для напряжения на индуктивности получаем, суммируя результаты расчетов:

На рис. 10.7 построен график найденной функции времени uL(t).

К решению примера 10.2. График зависимости u(t)

Рис. 10.7. К решению примера 10.2. График зависимости uL(t)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >