Одноразрядные двоичные сумматоры

Как известно, сложение двух чисел, представленных позиционным кодом, как в десятичной, так и в двоичной системах счисления осуществляется поразрядно. Поэтому структурной единицей любого сумматора является одноразрядный сумматор, выполняющий арифметическое сложение цифр одноименных разрядов.

Напомним, что результат сложения двух одноразрядных двоичных чисел в общем случае является числом двухразрядным. По этой причине полный двоичный одноразрядный сумматор имеет два выхода и три входа. Его условное изображение дано на рис. 20.17, а. На входы а, и bi подаются числа, подлежащие сложению, а на вход р? — цифра, поступающая из предыдущего, более младшего (г - 1)-го разряда при выполнении там операции сложения.

Разновидности сумматоров (условные графические обозначения)

Рис. 20.17. Разновидности сумматоров (условные графические обозначения):

а — полный двоичный одноразрядный сумматор; б — полусумматор; в — четвсртьсумматор

Таким образом, одноразрядный сумматор складывает три цифры: ап bj,pi.

Выход 5, предназначен для записи цифры /-го разряда суммы (я + bt + р7), а выход pi+x — для записи цифры (/' + 1 )-го разряда этой же суммы.

Промышленностью выпускаются также упрощенные варианты одноразрядных двоичных сумматоров, называемые полусумматорами и четверть- сумматорами [1, 12, 13].

Полусумматор, в отличие от полного сумматора, не содержит входа /?,, т.е. выполняет суммирование двух чисел без учета результата сложения в предыдущем разряде. Он работает по правилам сложения в самом младшем разряде.

В схеме четвертьсумматора исключены вход /г и выход рм. На единственном выходе четвертьсумматора записывается только цифра младшего (/-го) разряда суммы (а, + Ъ).

На рис. 20.17, б, в приведены условные графические обозначения полусумматора и четвертьсумматора.

Рассматриваемые функциональные узлы строятся из простейших логических элементов. Методика получения структурной схемы одноразрядного сумматора любой его разновидности традиционна, т.е. включает в себя:

  • а) составление таблицы всех возможных состояний на входе и выходе устройства, т.е. таблицы истинности;
  • б) запись по составленной таблице алгебраического выражения (логического), связывающего выходную величину с входными;
  • в) минимизацию (при необходимости) записанного логического уравнения;
  • г) переход от логического уравнения к структурной схеме.

Пользуясь данной методикой, получим структурные схемы, реализующие названые разновидности одноразрядного двоичного сумматора. Начнем с полусумматора, учитывая, что структура четвертьсумматора может быть получена как сто следствие.

Структурная реализация двоичного полусумматора. Все возможные состояния полусумматора представлены в таблице истинности (табл. 20.4). Она даст связь выходных величин S] и pj+i с входными — я, и Ьг

Таблица 20.4

Состояния полусумматора

№ строки

«,

ь,

4

Рм

1

0

0

0

0

2

1

0

1

0

3

0

1

1

0

4

1

1

0

1

Пользуясь табл. 20.4, получим алгебраические выражения функций 5,(я(, bj) и р;+1;, bj), например, в совершенной дизъюнктивной нормальной форме — СДНФ. Методика перехода от таблицы истинности к алгебраическому уравнению в СДНФ подробно рассмотрена в параграфе 18.3. Согласно ей выделяем в табл. 20.4 строки, где 5, = 1. Это строки 2 и 3. Для каждой выделенной строки записываем логическое произведение из «представителей» набора аргументов я;, bt (т.е. либо в не инвертированном виде, либо в виде инверсииД

  • • строка 2: aj bj (bi в данном наборе равно нулю);
  • • строка 3: ai bj; в этом наборе равно нулю).

Складываем записанные логические произведения и приходим к искомой СДНФ:

Аналогично но той же методике для р(.+| из строки 4 табл. 20.4 получаем

Соотношения (20.13) и (20.14) позволяют построить полусумматор из трех элементов — конъюнкторов (&), выполняющих операции логического умножения «И» (я,Д, яД, яД), и одного дизъюнктора для получения логической суммы («ИЛИ»). Эта реализация показана на рис. 20.18, я.

Очевидно, что для построения четвертьсумматора (рис. 20.18, б) достаточно соотношения (20.13).

Структурные схемы полусумматора (я) и четвертьсумматора (б)

Рис. 20.18. Структурные схемы полусумматора (я) и четвертьсумматора (б)

Структурная реализация полного одноразрядного двоичного сумматора. В табл. 20.5 занесены состояния выходов двоичного одноразрядного сумматора 5f и pi+v соответствующие всем возможным ситуациям на его входе.

Таблица 20.5

Состояния полного сумматора

Pi

ai

hi

Si

p»i

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Согласно табл. 20.5 СДНФ функций 5;(д, а,, />,) и рм(р,, а,, 6,) имеют следующий вид:

Непосредственное использование соотношений (20.15) и (20.16) при построении сумматора нерационально, так как каждой из функций S,(p;, ар Ь:) иPi+i(Pi> ai> bj) потребуется четыре трехвходовых конъюнктора («И») и один дизъюнктор («ИЛИ») на четыре входа. Поэтому целесообразна предварительная минимизация выражений (20.15) и (20.16). Например, несложные преобразования с использованием приема повторения слагаемого в логической сумме (20.16), а также логического тождества х + х = 1 приводят к следующему результату:

Уравнение (20.17) существенно проще уравнения (20.16).

Логическую функцию (20.15) также можно привести к более простому виду:

На рис. 20.19, а изображена структурная схема одноразрядного двоичного сумматора, построенная по формулам (20.17) и (20.18). Используемые конъюнкторы (&), за исключением одного, являются двухвходовыми. Схема на рис. 20.19, а также содержит еще и два дизъюнктора — на три и четыре входа.

Полный одноразрядный двоичный сумматор можно построить и на двух полусумматорах. На рис. 20.19, 6 показан один из вариантов такой реализации. Многоразрядные сумматоры строятся на основе одноразрядных.

Структурная схема полного одноразрядного двоичного сумматора (а) и его реализация на двух полусумматорах (6)

Рис. 20.19. Структурная схема полного одноразрядного двоичного сумматора (а) и его реализация на двух полусумматорах (6)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >