Основные формулы и теоремы теории вероятностей

Учитывая широкое применение теории вероятностей в исследованиях производственно-экологической безопасности, приведем ряд важных для этого формул.

Формула полной вероятности

Она позволяет рассчитать меру Р(А) возможности появления события А, которое наступает обязательно совместно с одним из несовместных событий Нi, образующих полную группу, т.е. когда

В этих условиях справедливо, что

(2.12)

где Р(А/Нi) – условная вероятность появления события А после появления события Нi.

Формула Байеса

Она рассматривает в тех же условиях обратную задачу, т.е. определяет вероятность появления события А из-за возникновения его предпосылки Hi:

(2.13)

Формула Бернулли

Она удобна для вычисления вероятности Рт появления ровно т событий в п опытах, при условии что все они проводятся в одинаковых условиях, а вероятность появления данного события в одном опыте равна Р:

(2.14)

где ! – знак факториала, означающий произведение последовательности целых чисел от данной величины до единицы, например 3! = 3 • 2 • 1 = 6, при этом принимается, что 0! = 1.

Как будет показано ниже, первую из приведенных формул удобно применять, например, для прогнозирования среднего ущерба от конкретных происшествий; вторую – при оценке возможного вклада отдельных предпосылок в уже возникшее техногенное происшествие; третью – для решения различных задач по статистическому оцениванию числовых характеристик, задающих распределения подобных случайных событий.

В связи с последним приведем здесь и другие важные формулы, которые будут уже касаться правил преобразования каких-либо параметров, характеризующих конкретные статистические распределения случайных величин. Такие правила получили в теории вероятностей название "теорем о числовых характеристиках", позволяющих осуществлять различные алгебраические действия с теми из них, которые обычно характеризуют первый начальный и второй центральный моменты распределения подобных величин.

Чаще всего подобные операции связаны с нахождением значений математического ожидания и дисперсии с учетом входящих в их выражения постоянных величин, а также с определением этих характеристик после суммирования и перемножения имеющихся там случайных величин.

1. Первый момент постоянной (неслучайной) величины тождественно равен ее значению, а второй центральный момент – нулю:

(2.15)

2. Константа С при величине X выносится за знак моментов следующим образом:

(2.16)

3. Моменты суммы двух случайных величин X и У рассчитывают по формулам

(2.17)

где – корреляционный момент этих двух величин (для независимых случайных величин К = 0).

4. Моменты произведения двух независимых величин X и Y определяются следующим образом:

(2.18)

  • (для зависимых величин М(ХУ) = M(X)MY + К, а точной формулы для дисперсии нет).
  • 5. Моменты линейной функции с постоянными величинами аi и b находят по формулам

Что касается наиболее часто встречающихся приложений приведенных выше теорем, то они обычно относятся к определению следующих числовых характеристик:

  • 1) корреляционного момента K двух случайных величин, связанных линейной функциональной зависимостью типа , который принимает одно из двух крайних значений: 1 или -1, выбор которого зависит от знака постоянного множителя а;
  • 2) математического ожидания и дисперсии числа появлений событий типа "отказ" или "происшествие" при нескольких опытах, где на величину этих моментов влияет наличие или отсутствие зависимости между полученными в них результатами:
    • а) для независимых испытаний эти моменты равны суммам соответственно вероятностей событий в отдельных опытах и произведения вероятностей их появления рi и непоявления qi в них:

(2.20)

б) в зависимых опытах дисперсия числа появлений подобных событий уже такова:

(2.21)

где р, Р – одинаковая во всех таких опытах вероятность появления искомого события и вероятность появления этого события одновременно в паре опытов (все равно каких).

При этом особый практический интерес для исследования безопасности функционирования сложных технических систем представляют следующие два частных случая:

1) когда возникновение рассматриваемых там событий в любом из опытов влечет за собой с достоверностью его появление в каждом из остальных. Данный случай соответствует условию Р = р, при котором формула (2.21) принимает уже следующий вид:

(2.22)

2) когда возникновение одного события в любом из опытов исключает его появление во всех остальных, что эквивалентно условию Р = 0 и переходу формулы (2.21) в следующую:

(2.23)

Что касается конкретных приложений приведенных здесь способов оценки параметров надежности и показателей безопасности, то они будут рассматриваться в следующих главах.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >