Структура нетто-премии по страхованию жизни

В предыдущих параграфах было показано, что в основе цены страхования лежит рисковая премия. Она отражает риск выплаты, который представляет собой данный договор для компании.

По страхованию жизни застрахованными объектами являются люди. Даже с учетом возможных различий в социальном и профессиональном плане, а также в состоянии здоровья однородность объектов здесь намного выше, чем в имущественных видах. В одной компании может насчитываться несколько десятков, а то и сотен тысяч застрахованных. Такой страховой портфель, объединяющий огромное количество гомогенных рисков, прекрасно подчиняется закону больших чисел. Относительные отклонения от ожидаемых значений в нем будут незначительны. Поэтому в структуре премии по страхованию жизни не предусматривается отдельной рисковой надбавки, как это имеет место в других видах страхования, где серьезные колебания более вероятны. Компенсация небольших неблагоприятных отклонений фактических параметров обеспечивается за счет консервативного выбора нормы доходности и таблиц смертности. Изначально занижая гарантированный доход, компания оставляет себе возможность покрыть случайное превышение выплат за счет разницы между фактической и обещанной доходностью вложений.

Таким образом, в страховании жизни для больших портфелей нетто-премия равна рисковой премии. Рисковая надбавка неявным образом включена в рисковую премию.

премия (и совпадающая с ней нетто-премия) рассчитывается исходя из принципа эквивалентности

Актуарная оценка обязательств

Рисковая премия (и совпадающая с ней нетто-премия) рассчитывается исходя из принципа эквивалентности. Поскольку в страховании жизни приходится учитывать возможный доход от инвестирования, данный принцип применяется в своей общей формулировке:

Для применения принципа эквивалентности необходимо рассчитать современную ожидаемую стоимость обязательств, которую также называют актуарной стоимостью, или актуарной оценкой.

С финансовой точки зрения договор страхования представляет собой ряд взаимных платежей, которые могут осуществиться с определенной вероятностью. Обязательства каждой из сторон складываются из всех платежей, которые она должна осуществить.

В классических продуктах величина выплат и взносов фиксируется еще при заключении договора. Поэтому их номинальные суммы заранее известны и неслучайны. Случайным может являться лишь факт осуществления. Поэтому ожидаемая стоимость каждого платежа равна произведению его номинальной суммы на вероятность:

Современная ожидаемая стоимость платежа, который планируется осуществить через t лет с момента заключения договора, получается путем умножения его ожидаемой стоимости на дисконтирующий коэффициент за указанный период t:

Сложив современные ожидаемые стоимости всех платежей, которые должна произвести сторона договора, мы получим актуарную оценку ее обязательств.

Актуарная стоимость обязательств страховщика

Обязательства страховщика заключаются в осуществлении страховых выплат при наступлении определенных страховых случаев. В "классическом" страховании жизни основными страховыми рисками являются:

  • - дожитие застрахованного лица до определенного возраста или срока;
  • - смерть застрахованного в течение срока страхования.

Кроме этих рисков в продукты могут быть включены дополнительные гарантии на случай инвалидности или временной нетрудоспособности, страхование от несчастных случаев и т.д.

В страховании жизни применяются две формы страховых выплат:

  • - единовременная выплата страховой суммы или
  • - последовательные периодические выплаты (рента, пенсия, аннуитет).

Примечание

Рентой (или аннуитетом) обычно называется серия последовательных периодических выплат. Если очередная выплата производится при условии, что застрахованный жив на этот момент времени, такие ренты называются прижизненными или страховыми.

В общем случае в договоре страхования ренты можно выделить три периода (рис. 5.4):

  • - период уплаты взносов;
  • - период отсрочки, который длится с момента заключения (вступления в действие) договора страхования до начала года страхования, когда начинается выплата ренты;
  • - период выплат, в течение которого осуществляется выплата ренты.

Временные параметры договора страхования ренты (аннуитета)

Рис. 5.4. Временные параметры договора страхования ренты (аннуитета)

Период отсрочки может отсутствовать, тогда выплата ренты начинается в первый год действия договора после уплаты страхователем единовременной премии. Такая рента называется немедленной. В противном случае рента считается отсроченной.

Если в договоре указан период, в течение которого будет выплачиваться страховая рента, такая рента называется срочной. В случае смерти застрахованного до окончания данного периода выплаты прекращаются. Если продолжительность периода выплат не оговаривается, речь идет о пожизненной ренте, которая длится до момента смерти застрахованного.

Рента выплачивается с заданной периодичностью (раз в год, раз в квартал, раз в месяц и т.д.). При этом если выплата происходит в конце каждого периодического интервала, такая рента называется рентой постнумерандо (postnumerando). Если же выплата осуществляется в начале каждого периода, она называется рентой пренумерандо (praenumerando).

Форма выплаты по каждому страховому риску обычно определяется при заключении договора. В современных продуктах также иногда предусматривается возможность выбора между единовременной выплатой или рентой при наступлении страхового случая. В такой ситуации перерасчет осуществляется исходя из равенства актуарной стоимости для всех форм выплат.

Страховые продукты, как правило, представляют собой комбинацию нескольких видов ответственности страховщика, т.е. страховых рисков и соответствующих им форм выплат. Наиболее распространенными являются:

  • - единовременная выплата страховой суммы при дожитии до определенного возраста или срока;
  • - единовременная выплата страховой суммы в случае смерти в течение срока действия договора;
  • - выплата страховой ренты (пенсии, аннуитета) при дожитии до определенного возраста или срока.

Страхование на случай смерти может осуществляться самостоятельно либо дополнять страхование на дожитие или ренты. Кроме указанных основных видов страхования, в договор могут включаться дополнительные гарантии (возврат взносов в случае смерти застрахованного, освобождение от уплаты взносов в случае инвалидности и т.д.). Их стоимость также оценивается по изложенным выше принципам и учитывается в цене страховой услуги.

Рассмотрим несколько примеров оценки обязательств страховщика по отдельным видам ответственности.

Пример. Оценка обязательств страховщика при страховании на дожитие

Обязательства страховщика при страховании на дожитие состоят в выплате фиксированной страховой суммы s в конце срока страхования при условии, что застрахованный будет жив на тот момент времени.

Номинальная сумма выплаты равна страховой сумме s. Вероятность выплаты равна вероятности дожития застрахованного до конца срока страхования. Если на момент заключения договора его возраст x лет, а срок страхования составляет п лет, то вероятность дожить до возраста (х + n) лет может быть определена по таблице смертности как

Ожидаемая стоимость выплаты будет равна произведению (snpx). Выплату планируется осуществить через п лет. Приведенная на момент заключения (т.е. современная) ожидаемая стоимость может быть получена умножением (snpx) на дисконтирующий коэффициент за п лет:

Произведение вероятности дожития пРх на дисконтирующий множитель vn представляет собой современную ожидаемую стоимость единичной (т.е. размером в одну денежную единицу) выплаты на дожитие для лица в возрасте x лет на срок п лет. В международной актуарной нотации она обозначается пЕх.

Таким образом, актуарная стоимость обязательств страховщика в данном случае будет равна произведению s nEr.

Пример. Оценка обязательств страховщика по страхованию на случай смерти

Страхование на случай смерти предусматривает выплату определенной страховой суммы s указанному в договоре выгодоприобретателю в случае смерти застрахованного лица.

В срочном страховании договор заключается на определенный период, который составляет, как правило, несколько лет. Договором предусмотрена только одна выплата. Однако застрахованный может умереть в любой год в течение срока страхования. И до этого момента вероятность выплаты существует в каждом году. Поэтому актуарная стоимость обязательств страховщика будет равна сумме современных ожидаемых стоимостей выплаты за все годы действия договора. Таблицы смертности составлены для целых значений возрастов, поэтому расчет вероятностей смерти производится с той же дискретностью (один год).

Для лица, заключившего договор страхования в возрасте х лет на срок п лет, вероятность умереть в течение первого года qx может быть определена по таблице смертности как

Ожидаемая стоимость выплаты для первого года составит (sqx). Смерть может наступить в любой день в течение года, но расчет производится для целых возрастов (годовщин действия договора). Для определения современной стоимости принимают допущение относительно ожидаемого момента осуществления выплаты (сразу после смерти, в конце года смерти, в середине и т.д.). Упрощенно будем считать, что все выплаты происходят в конце того года страхования, когда наступила смерть. Тогда для приведения ожидаемой стоимости выплаты за первый год к моменту заключения договора ее необходимо умножить на дисконтирующий коэффициент за один год:

Ожидаемая стоимость выплаты для второго года составит (s1px·qx+1)f а ее актуарная стоимость будет равна:

Вероятность смерти на втором году страхования равна произведению вероятности дожития до начала второго года 1рх на вероятность смерти в течение второго года qx+1:

Аналогично может быть рассчитана современная ожидаемая стоимость выплаты по смерти для произвольного j-го года в течение срока страхования (1 ≤ j ≤ n):

где

Актуарная стоимость обязательств страховщика складывается из современных ожидаемых стоимостей выплаты за все годы страхования:

В данном выражении сумма произведений вероятностей страхового случая на соответствующие дисконтирующие множители представляет собой современную ожидаемую стоимость единичной выплаты по страхованию на случай смерти лица в возрасте х лет на срок n лет. Согласно актуарной нотации она обозначается nАx:

Как и при страховании на дожитие, абсолютная актуарная стоимость обязательств страховщика будет равна произведению страховой суммы на современную ожидаемую стоимость единичной выплаты s пАх.

Если страхование на случай смерти осуществляется пожизненно, то срок страхования ограничен лишь фактической продолжительностью жизни застрахованного. Максимально возможный возраст считается равным предельному возрасту таблицы смертности со. Поэтому в выражении для актуарной стоимости единичной выплаты вместо периода страхования п будет использоваться максимальная остаточная продолжительность жизни (w - х) лет. Актуарная стоимость единичной выплаты в этом случае будет обозначаться как Av:

Пример. Оценка обязательств страховщика по выплате страховой ренты (аннуитета)

Предположим, по договору страхования лица в возрасте х лет страховая компания обязуется после достижении им возраста + m) лет выплачивать ему ежегодно по s рублей в конце каждого года в течение п лет (рис. 5.5).

График платежей по договору страхования отсроченной на т лет ежегодной ренты для лица в возрасте х лет на срок п лет с единовременной уплатой премии

Рис. 5.5. График платежей по договору страхования отсроченной на т лет ежегодной ренты для лица в возрасте х лет на срок п лет с единовременной уплатой премии

Обязательства страховщика по рассматриваемому договору состоят в осуществлении серии периодических выплат в конце каждого года при условии, что застрахованный жив на тот момент времени. Актуарная стоимость таких обязательств будет складываться из современных ожидаемых стоимостей всех возможных выплат.

В течение периода отсрочки т лет выплат не происходит. Первая выплата производится в конце (m + 1) года. Вероятность ее осуществления соответствует вероятности дожития застрахованного до возраста (х + т + 1) лет, которая может быть рассчитана по таблице смертности как

Современная ожидаемая стоимость выплаты равна произведению ее номинальной суммы на вероятность и на дисконтирующий множитель за (m + 1) лет

Аналогичным образом может быть рассчитана современная ожидаемая стоимость для любой произвольной j-й выплаты, предусмотренной договором:

где

Актуарная стоимость обязательств составит

Как и в примере со страхованием на случай смерти, сумма произведений вероятностей страховых случаев на соответствующие дисконтирующие коэффициенты представляет собой современную ожидаемую стоимость единичных обязательств страховщика. За единицу здесь принимается сумма выплат ренты в год.

В актуарных расчетах актуарная стоимость единичных обязательств по выплате ренты называется аннуитетом. Аннуитет отсроченной на т лет единичной страховой ренты для лица в возрасте x лет, выплачиваемой в конце каждого года в течение п лет, обозначается m|nax:

Если бы рента выплачивалась в начале каждого года, то соответствующий ей аннуитет был бы равен

На практике ренты часто выплачиваются с периодичностью несколько раз в год (ежемесячно, раз в квартал, раз в полгода). Такие ренты называются дроблеными. Аннуитеты рент, выплачиваемых к раз в год, могут быть вычислены по приближенным зависимостям

Для дробленой единичной ренты единице равна общая сумма выплат в год, а каждый отдельный платеж составляет (1 /к).

В данном примере рассматривались обязательства страховщика по страхованию отсроченной на т лет ренты для лица в возрасте х лет, которая выплачивалась в течение п лет. Выражения для аннуитетов немедленных и пожизненных рент являются частными случаями полученных зависимостей при значениях т = 0 (для немедленных рент) и п=w-х-т (для пожизненных рент).

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >