Интегрирование дифференциальны уравнений Эйлера для случая установившегося течени в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли

При установившемся движении жидкости

Для случая, когда движение жидкости происходит в условиях Земли под действием силы тяжести,

Кроме того, будем иметь в виду, что при установившемся движении жидкости линии тока и траектории частиц жидкости совпадают и для любой элементарной струйки можно записать, что проекция перемещения (11 вдоль элементарной струйки равна с11 = и<к, а ее проекции на оси х, у, г буду соответственно

Для рассматриваемого случая система уравнений Эйлера запишется следующим образом:

Умножим каждое из уравнений на (1у, (1г соответственно.

В правой части первого уравнения, используя соотношения (4.11), получим

Выражение в скобках является полным дифференциалом компоненты их скорости и частицы жидкости, определяемой вдоль элементарной струйки:

и выражение (4.13) запишется следующим образом:

Запишем но аналогии правые части домноженных уравнений системы (4.12):

В итоге после умножения уравнений (4.12) на (1х, (1у, (1г получим

Сложим уравнения (4.17):

Зная, что за

пишем

Преобразуем полученное выражение и разделим его на величину g, отметив при этом, что члены полученного дифференциального уравнения отнесены к величине dmg:

Проинтегрируем выражение (4.20), предполагая жидкость несжимаемой (р = const; g = const):

в результате получим

Выражение (4.21) называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной невязкой жидкости.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >