Интегрирование дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости

Интегрирование уравнений движени для потенциального потока

Рассмотрим алгоритм интегрирования уравнений (14.3). Пусть массовые силы имеютпотенциал (14.4).

Далее, слагаемые также могут рассмат

риваться как частные производные некоторой функции Ф(.г, у, г), удовлетворяющей условиям

Отсюда

или, в краткой форме записи,

Такой функцией является

Можно принять произвольную постоянную С = 0.

Так как рассматривается потенциальное течение, то

Получим

и аналогично

С учетом всего отмеченного первое уравнение системы (14.3) запишется следующим образом:

По аналогии система (14.3), если все уравнения умножить на (-1), запишется следующим образом:

Если ввести обозначение

то выражения (14.9) кратко запишутся следующим образом:

14.2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения.. 241

Умножим уравнения (14.11) на сЬс, с1у, соответственно, а затем уравнения сложим. Получим

или, кратко,

Проинтегрировав выражение (14.12), получим В или, в полной записи.

Это выражение называется интегралом Лагранжа', из него следует, что величина функции и постоянна для некоторого момента времени во всей области течения жидкости, но может изменяться во времени.

Для случая установившегося движения несжимаемой жидкости в поле силы тяжести имеем

Эф

— = 0 — так как движение установившееся; С(?) = С'.

В результате получаем

или, разделив равенство (14.14) на&